Examkin

Question

Difficulty: MediumKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

AA ve BB kümeleri, 4040 elemanlı bir EE evrensel kümesinin alt kümeleridir. Bu kümelere ilişkin aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* s(A∪B)=30s(A \cup B) = 30
* s(A∩B)=s((A∪B)′)s(A \cap B) = s((A \cup B)')
* s(A∖B)=3⋅s(B∖A)s(A \setminus B) = 3 \cdot s(B \setminus A)

Buna göre, AA kümesinin tümleyeni olan s(A′)s(A') değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    5
  2. B
    10
  3. 15Answer
  4. D
    25
  5. E
    30

Answer

A kümesinin tümleyeni olan A′A' kümesinin eleman sayısı 15'tir.
Evrensel kümenin eleman sayısından birleşim kümesi çıkarıldığında dış bölgenin (10) eleman sayısı bulunur. Kesişim de buna eşit olduğundan 10'dur. Birleşim formülü (30=3k+k+1030 = 3k + k + 10) kullanıldığında k=5k=5 bulunur ki bu s(B∖A)s(B \setminus A) değeridir. AA kümesinin tümleyeni, AA dışındaki alanların toplamı olan s(B∖A)+s((A∪B)′)=5+10=15s(B \setminus A) + s((A \cup B)') = 5 + 10 = 15 işleminden elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Birleşimin dışındaki bölgeyi (A∪BA \cup B)' hesaplayın.
s((A∪B)′)=s(E)−s(A∪B)=40−30=10s((A \cup B)') = s(E) - s(A \cup B) = 40 - 30 = 10
Evrensel kümedeki elemanlar ya birleşimdedir ya da birleşimin dışındadır.
2
Kesişim kümesinin eleman sayısını belirleyin.
s(A∩B)=s((A∪B)′)=10s(A \cap B) = s((A \cup B)') = 10
Soruda kesişim kümesinin eleman sayısının, birleşimin dışındaki bölgeye eşit olduğu verilmiştir.
3
Fark kümelerinin eleman sayılarını oranlayarak bulun.
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) denkleminden 30=3k+k+10⇒4k=20⇒k=530 = 3k + k + 10 \Rightarrow 4k = 20 \Rightarrow k = 5 bulunur. Buradan s(B∖A)=5s(B \setminus A) = 5 ve s(A∖B)=15s(A \setminus B) = 15 olur.
Birleşim kümesi; iki fark kümesi ve kesişim kümesinin ayrık toplamına eşittir.
4
s(A′)s(A') değerini hesaplayın.
s(A′)=s(B∖A)+s((A∪B)′)=5+10=15s(A') = s(B \setminus A) + s((A \cup B)') = 5 + 10 = 15
A kümesinin tümleyeni, evrensel kümede olup A'nın içinde olmayan tüm bölgelerin toplamıdır.

Key Concept

Kümelerde Tümleme ve Fark İşlemleri

Hints

1
Öncelikle evrensel kümenin eleman sayısını kullanarak A∪BA \cup B kümesinin dışında kaç eleman olduğunu bulun.
2
s(A∩B)s(A \cap B) değerini bulduktan sonra birleşim kümesinin eleman sayısını veren formülü (s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)) kullanın.

Practice More

Benzer sorularda Venn şeması çizerek her bölgeye birer değişken atamak çözümü kolaylaştırabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

More questions from this topic