Examkin

Question

Difficulty: MediumKatı Cisimler

Ayrıt uzunlukları 3 cm3\text{ cm}, 4 cm4\text{ cm} ve 12 cm12\text{ cm} olan bir dikdörtgenler prizması aşağıda modellenmiştir. Bu prizmanın birbirine en uzak iki köşesini birleştiren cisim köşegeninin uzunluğu kaç cm\text{cm}'dir?

  1. 13Answer
  2. B
    15
  3. C
    17
  4. D
    19
  5. E
    21

Answer

Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni uzunluğu 13 cm13\text{ cm} olarak bulunur.
Verilen 33, 44 ve 1212 ayrıt uzunlukları için cisim köşegeni 32+42+122=9+16+144=169=13\sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Prizmanın ayrıtlarını aa, bb ve cc olarak belirleyin.
a=3 cma = 3\text{ cm}, b=4 cmb = 4\text{ cm} ve c=12 cmc = 12\text{ cm}
Cisim köşegeni formülünü uygulamak için temel boyutların bilinmesi gerekir.
2
Cisim köşegeni formülünü (d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}) uygulayın.
d=32+42+122=9+16+144d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144}
Bir dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni, üç farklı ayrıtın karelerinin toplamının kareköküne eşittir.
3
Kök içindeki toplamı hesaplayın ve karekökünü alın.
169=13\sqrt{169} = 13
132=16913^2 = 169 olduğu için sonuç rasyonel bir sayıdır.

Key Concept

Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni uzunluğu d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} formülüyle hesaplanır.

Hints

1
Cisim köşegeni, bir kutunun içinde çizilebilecek en uzun doğru parçasıdır.
2
Önce tabandaki 33 ve 44 birimlik kenarlardan oluşan dik üçgenin hipotenüsünü (taban köşegenini) bulun, sonra bu uzunluğu ve yüksekliği kullanarak ikinci bir Pisagor yapın.
3
Ayrıtları a,b,ca, b, c olan prizmanın cisim köşegeni a2+b2+c2\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} formülüyle bulunur. 32+42+1223^2 + 4^2 + 12^2 işleminin sonucuna odaklanın.

Practice More

Bir ayrıtı aa olan bir küpün cisim köşegeninin neden a3a\sqrt{3} olduğunu bu formülden türetmeye çalışın.

Alternative Method

İki aşamalı Pisagor: 1) Taban köşegeni k=32+42=5k = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5. 2) Cisim köşegeni d=k2+122=52+122=13d = \sqrt{k^2 + 12^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13.
Estimated Time:1m 15s
Rate this question

Topics

Katı Cisimler

More questions from this topic