Examkin

Question

Difficulty: MediumKatı Cisimler

Taban yarıçapı 4 cm4\text{ cm} ve yüksekliği 9 cm9\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki metal bir blok eritiliyor. Elde edilen sıvı metalin tamamı kullanılarak, taban yarıçapı 2 cm2\text{ cm} ve yüksekliği 3 cm3\text{ cm} olan içi dolu dik dairesel koniler dökülüyor.

Buna göre, bu işlem sonunda en çok kaç adet koni elde edilir?

  1. A
    12
  2. B
    18
  3. C
    24
  4. 36Answer
  5. E
    48

Answer

Elde edilen koni sayısı 36'dır.
Metal blok eritildiğinde toplam hacim değişmez. Silindirin hacmi 144π144\pi, bir koninin hacmi ise 4π4\pi olarak hesaplanır. Bu iki değer oranlandığında 144π/4π=36144\pi / 4\pi = 36 adet koni elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Eritilen silindirin hacmini hesapla.
Vsilindir=πr2h=π⋅42⋅9=144π cm3V_{silindir} = \pi r^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 9 = 144\pi \text{ cm}^3
Silindirin hacim formülü kullanılarak toplam metal miktarı bulunur.
2
Elde edilecek bir koninin hacmini hesapla.
Vkoni=13πr2h=13π⋅22⋅3=13π⋅4⋅3=4π cm3V_{koni} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 2^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 3 = 4\pi \text{ cm}^3
Koninin hacim formülü kullanılarak tek bir parçanın hacmi bulunur.
3
Toplam hacmi bir koninin hacmine böl.
144π4π=36\frac{144\pi}{4\pi} = 36
Toplam metal miktarının kaç adet koniye dönüştüğü oranlanarak bulunur.

Key Concept

Hacim Korunumu ve Dönüşümü

Hints

1
Eritme işlemlerinde cismin şekli değişse de toplam hacmi (miktarı) değişmez.
2
Önce silindirin hacmini, sonra bir koninin hacmini hesaplayın. Silindir hacmi formülü πr2h\pi r^2 h, koni hacmi formülü 13πr2h\frac{1}{3} \pi r^2 h şeklindedir.
3
Silindir hacmi: π⋅42⋅9\pi \cdot 4^2 \cdot 9. Koni hacmi: 13π⋅22⋅3\frac{1}{3} \pi \cdot 2^2 \cdot 3. Bu iki sonucu birbirine bölün.

Alternative Method

Oran yöntemi kullanılabilir: Yarıçap yarıya düşüyor (r→r/2r \to r/2), alan 1/4'üne iner. Yükseklik 3'te 1'ine düşüyor (h→h/3h \to h/3). Koni faktörü 1/3 vardır. Hacim değişimi: Silindir Hacmi / Koni Hacmi = πr2h13π(r/2)2(h/3)=113⋅14⋅13=36\frac{\pi r^2 h}{\frac{1}{3}\pi (r/2)^2 (h/3)} = \frac{1}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}} = 36.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Katı Cisimler

More questions from this topic