Examkin

Question

Difficulty: HardDoğruda ve Üçgende Açılar

Bir ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| eşitliği veriliyor. [AC][AC] kenarı üzerinde bir DD noktası alınıyor. ∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| ve m(ABD^)=33∘m(\widehat{ABD}) = 33^\circ olduğuna göre, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) kaç derecedir?

  1. A
    33
  2. 38Answer
  3. C
    44
  4. D
    71
  5. E
    74

Answer

İstenen açının ölçüsü 38 derecedir.
Verilen iki farklı ikizkenarlık durumu kullanılarak açılar arasında bir denklem kurulmalıdır. ∣AC∣=∣AB∣|AC|=|AB| şartından büyük üçgenin taban açılarına xx denir. ∣BD∣=∣BC∣|BD|=|BC| şartından küçük üçgenin taban açıları da xx olur. Açı toplamları ve parça-bütün ilişkisinden x=33+(180−2x)x = 33 + (180-2x) denklemi elde edilir. Bu denklemden taban açısı 71∘71^\circ bulunur. Tepe açısı ise 180−2(71)=38∘180 - 2(71) = 38^\circ olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
İkizkenar üçgen özelliklerini kullanarak açıları değişkenle ifade et
m(ACB^)=xm(\widehat{ACB}) = x olsun. ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| olduğundan m(ABC^)=xm(\widehat{ABC}) = x olur.
İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.
2
İçteki ikizkenar üçgeni (BDCBDC) analiz et
∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| olduğundan △BDC\triangle BDC ikizkenardır ve taban açıları eşittir: m(BDC^)=m(BCD^)=xm(\widehat{BDC}) = m(\widehat{BCD}) = x.
Soruda verilen ikinci ikizkenarlık şartı kullanılır.
3
Üçgenin iç açıları toplamını kullanarak denklem kur
△BDC\triangle BDC üçgeninde tepe açısı: m(DBC^)=180∘−2xm(\widehat{DBC}) = 180^\circ - 2x. Ayrıca, m(ABC^)=m(ABD^)+m(DBC^)m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ABD}) + m(\widehat{DBC}) eşitliğini yazarız: x=33∘+(180∘−2x)x = 33^\circ + (180^\circ - 2x).
Açılar arasındaki parça-bütün ilişkisi ve üçgen iç açı toplamı prensibi.
4
Denklemi çöz ve istenen açıyı bul
3x=213∘⇒x=71∘3x = 213^\circ \Rightarrow x = 71^\circ. İstenen m(A^)=180∘−2x=180∘−142∘=38∘m(\widehat{A}) = 180^\circ - 2x = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ.
Büyük üçgenin tepe açısını bulmak için taban açıları toplamını 180'den çıkarırız.

Key Concept

İkizkenar Üçgen ve Açı Hesabı

Hints

1
Büyük üçgenin (ABCABC) taban açılarına xx diyerek başlayın.
2
∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| olduğu için BDCBDC üçgeni de ikizkenardır ve taban açıları xx olur.
3
BB köşesindeki açının tamamı xx'tir. Bu açıyı 33∘33^\circ ve BDCBDC üçgeninin tepe açısı cinsinden yazarak bir eşitlik kurun.

Alternative Method

Dış açı özelliği kullanılarak: DD noktasındaki dış açı ADB^\widehat{ADB} olsun. Ancak bu soruda iç açılar toplamı yöntemi daha doğrudandır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Doğruda ve Üçgende Açılar

More questions from this topic