Examkin

Question

Difficulty: Very hardÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC üçgeninde, AA köşesine ait iç açıortay doğrusu [AN][AN] ile ACAC kenarına ait kenarortay doğrusu [BM][BM] birbirine diktir.

∣AB∣=6|AB| = 6 cm ve ABCABC üçgeninin çevresi 2828 cm olduğuna göre, ∣BC∣|BC| kaç cm'dir?

  1. A
    8
  2. 10Answer
  3. C
    12
  4. D
    14
  5. E
    16

Answer

10
Soruda verilen kritik bilgi, AA açısına ait açıortayın (ANAN), ACAC kenarına ait kenarortaya (BMBM) dik olmasıdır. Geometride 'Yaki' kuralı (Yükseklik, Açıortay, Kenarortay, İkizkenar) gereği, bir doğru parçası hem açıortay hem de yükseklik görevi görüyorsa, o üçgen ikizkenardır. Burada ABMABM üçgeninde AKAK doğrusu hem açıortay hem de yükseklik olduğundan ∣AB∣=∣AM∣|AB| = |AM| olur. BMBM kenarortay olduğu için ∣AM∣=∣MC∣|AM|=|MC|'dir. Dolayısıyla ∣AC∣=2∣AB∣=12|AC| = 2|AB| = 12 cm bulunur. Çevre 2828 cm olduğundan, ∣BC∣=28−(6+12)=10|BC| = 28 - (6+12) = 10 cm'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen geometrik ilişkiyi analiz et.
AA köşesinden çizilen iç açıortay [AN][AN], ACAC kenarına ait [BM][BM] kenarortayına diktir. Bu durum özel bir ikizkenar üçgen yapısı oluşturur.
Açıortayın aynı zamanda yükseklik olması, o üçgenin ikizkenar olduğunu gösterir.
2
Kesişim noktasını tanımla ve ikizkenar üçgeni belirle.
[AN][AN] ve [BM][BM] doğrularının kesişim noktasına KK diyelim. △ABK\triangle ABK ve △AMK\triangle AMK üçgenlerinde AKAK hem açıortay hem de yüksekliktir. Bu durumda △ABM\triangle ABM ikizkenar üçgen olur ve ∣AB∣=∣AM∣|AB| = |AM| eşitliği sağlanır.
Bir üçgende açıortay aynı zamanda yükseklik ise, o üçgen ikizkenardır.
3
ACAC kenar uzunluğunu ABAB cinsinden ifade et.
[BM][BM] kenarortay olduğu için ∣AM∣=∣MC∣|AM| = |MC|'dir. ∣AB∣=∣AM∣|AB| = |AM| olduğundan, ∣AC∣=∣AM∣+∣MC∣=∣AB∣+∣AB∣=2∣AB∣|AC| = |AM| + |MC| = |AB| + |AB| = 2|AB| olur.
Kenarortay kenarı iki eş parçaya böler.
4
Verilenleri kullanarak denklemi kur ve çöz.
∣AB∣=6|AB| = 6 cm ise, ∣AC∣=2⋅6=12|AC| = 2 \cdot 6 = 12 cm olur. Çevre =∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=28= |AB| + |AC| + |BC| = 28 cm. 6+12+∣BC∣=28⇒18+∣BC∣=28⇒∣BC∣=106 + 12 + |BC| = 28 \Rightarrow 18 + |BC| = 28 \Rightarrow |BC| = 10 cm.
Üçgenin çevresi tüm kenar uzunluklarının toplamıdır.

Key Concept

Bir üçgende açıortay doğrusu ile kenarortay doğrusu dik kesişiyorsa, bu doğruların oluşturduğu alt üçgen ikizkenardır ve esas üçgenin kenarları arasında 1:21:2 oranı vardır.

Hints

1
Bir üçgende açıortay aynı zamanda yükseklik ise, bu üçgenin kenarları hakkında ne söylenebilir? İkizkenar üçgen özelliklerini hatırlayın.
2
ANAN ve BMBM doğrularının kesişim noktasına odaklanın. ABMABM üçgeninde açıortayın tabana dik inmesi, ∣AB∣|AB| ve ∣AM∣|AM| kenarları arasında bir eşitlik olduğunu gösterir.
3
∣AB∣=∣AM∣|AB| = |AM| eşitliğini ve MM noktasının ACAC kenarını ikiye böldüğünü (∣AM∣=∣MC∣|AM|=|MC|) kullanın. Bu, ∣AC∣|AC|'nin ∣AB∣|AB|'nin iki katı olduğu anlamına gelir.

Practice More

Aynı kuralın dış açıortay ile olan versiyonunu içeren sorular çözülebilir.

Alternative Method

İç açıortay teoremi kullanılarak da çözülebilir, ancak 1:21:2 oranı bulunduğu için en pratik yol 'Yaki' kuralıdır.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Üçgende Yardımcı Elemanlar

More questions from this topic