Examkin

Question

Difficulty: Very hardArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Pozitif tam sayılar kümesindeki 3'ün katı olan sayılar (3,6,9,…3, 6, 9, \dots) küçükten büyüğe doğru sıralanarak aşağıdaki kurala göre gruplara ayrılıyor:

- 1. grup: {3}\{3\}
- 2. grup: {6,9}\{6, 9\}
- 3. grup: {12,15,18}\{12, 15, 18\}

Her gruptaki sayı adedi grup numarasına eşittir (örneğin nn. grupta nn adet sayı bulunmaktadır). Bu kurala göre oluşturulan gruplardan birinin elemanları toplamı 12.03012.030 olduğuna göre, bu grup kaçıncı gruptur?

  1. A
    19
  2. 20Answer
  3. C
    21
  4. D
    28
  5. E
    40

Answer

Elemanları toplamı 12.030 olan grup 20. gruptur.
Soru, ardışık sayı grupları içindeki bir örüntüyü ve toplam formülünü kurmayı gerektirir. n. gruptan önce toplam n(n-1)/2 adet sayı kullanılmıştır. n. grup n adet 3'ün katı olan sayıdan oluşur. Bu grubun toplamı formülize edildiğinde S = (3/2)(n³ + n) elde edilir. Bu ifade 12.030'a eşitlendiğinde n³ + n = 8020 denklemi bulunur. 20 sayısının küpü 8000 olduğundan, n=20 değeri denklemi tam olarak sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Grupların yapısını ve terim sayılarını analiz et.
1. grupta 1, 2. grupta 2, ..., (n-1). grupta (n-1) adet sayı vardır. n. gruptan önceki toplam terim sayısı: 1 + 2 + ... + (n-1) = n(n-1)/2'dir.
Her grubun ilk terimini bulmak için önceki gruplarda kaç terim kullanıldığını bilmemiz gerekir.
2
n. grubun ilk terimini ve terimler dizisini belirle.
Dizi 3'ün katlarıdır (3k). n. grubun ilk terimi, [n(n-1)/2 + 1]. sıradaki terimdir. Değeri: 3 * [ (n²-n)/2 + 1 ].
n. grup, önceki tüm sayıların bittiği yerden başlar.
3
n. grubun elemanları toplamı formülünü oluştur.
n. grupta n terim vardır. Bu bir aritmetik dizidir. Ortanca terim yaklaşık 3 * (n²/2)'dir. Kesin toplam formülü: S_n = (3n(n² + 1)) / 2.
Ardışık sayıların toplamı = Terim Sayısı * Ortanca Terim formülünden türetilir.
4
Denklemi kur ve n değerini bul.
3n(n² + 1) / 2 = 12030 => n(n² + 1) = 8020. n=20 için 20 * (400 + 1) = 8020 sağlar.
Verilen toplam değerini formüle eşitleyerek n tam sayısını buluruz.

Key Concept

Ardışık Sayı Gruplarının Toplamı

Hints

1
n. gruptan önce kaç tane sayı kullanıldığını (1'den n-1'e kadar olan sayıların toplamı) bularak n. grubun kaçıncı sayıyla başladığını hesaplayın.
2
n. grubun ilk terimini bulduktan sonra, bu grubun n tane 3'ün katı olan ardışık sayıdan oluştuğunu (3k, 3(k+1)...) hatırlayın ve ardışık toplam formülünü uygulayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla kurulan 'Ardışık tek sayıların oluşturduğu piramitte n. satırın toplamı' sorusunu inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Yaklaşık değer yöntemi: n. gruptaki sayıların ortalaması yaklaşık olarak 3 * (toplam terim sayısı) civarındadır. Toplam terim sayısı ~n²/2 olduğundan, ortalama ~3n²/2'dir. Grup toplamı = n * Ortalama ≈ 3n³/2. Buradan 12030 ≈ 1.5 n³ => n³ ≈ 8020 tahmini ile n=20 hızlıca denenebilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic