Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Benzerlik

Düz bir zemin üzerine dik olarak yerleştirilmiş iki direk bulunmaktadır. Birinci direğin tepesinden ikinci direğin dibine ve ikinci direğin tepesinden birinci direğin dibine gergin ipler çekilmiştir. Bu iplerin kesişim noktasının zeminden yüksekliği 4,8 metredir. Direklerden birinin yüksekliği 8 metre olduğuna göre, diğer direğin yüksekliği kaç metredir?

  1. A
    10
  2. 12Answer
  3. C
    16
  4. D
    18
  5. E
    24

Answer

Diğer direğin yüksekliği 12 metredir.
Verilen geometrik yapıda, zemine dik direkler birbirine paraleldir. Temel benzerlik teoremi gereği, kesişim noktasının yüksekliği (hh), direk boyları (aa ve bb) arasında 1h=1a+1b\frac{1}{h} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} bağıntısı vardır. Verilen değerler (h=4,8h=4,8 ve a=8a=8) yerine konulduğunda, diğer direğin boyu 12 metre olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Problemi geometrik olarak modelle
Zemin üzerinde birbirine paralel iki doğru parçası (direkler) ve bunları çapraz kesen iki doğru parçası (ipler) oluşur. Bu yapı 'kelebek' benzerliği ve temel benzerlik teoremi uygulamasıdır.
Paralel doğrular arasındaki çapraz bağlantılar, benzer üçgenler oluşturur.
2
Kesişim yüksekliği formülünü uygula
Paralel iki uzunluk xx ve yy ise ve kesişim yüksekliği hh ise, formül: 1h=1x+1y\frac{1}{h} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} şeklindedir.
Temel orantı teoreminden (Thales) elde edilen harmonik ortalama ilişkisidir.
3
Verilenleri formüle yerleştir
14,8=18+1y\frac{1}{4,8} = \frac{1}{8} + \frac{1}{y}
Bilinen yükseklikler (h=4,8h=4,8 ve x=8x=8) yerine konur.
4
Bilinmeyen yüksekliği (yy) çöz
14,8=1048=524\frac{1}{4,8} = \frac{10}{48} = \frac{5}{24}. Denklem: 524=324+1y  ⟹  224=1y  ⟹  112=1y  ⟹  y=12\frac{5}{24} = \frac{3}{24} + \frac{1}{y} \implies \frac{2}{24} = \frac{1}{y} \implies \frac{1}{12} = \frac{1}{y} \implies y = 12.
Rasyonel sayı işlemleriyle bilinmeyen bulunur.

Key Concept

Paralel doğrular arasındaki çapraz kesişimlerde, kesişim noktasının yüksekliğinin tersi, paralel uzunlukların yüksekliklerinin tersleri toplamına eşittir.

Hints

1
Bu soruyu çözmek için 'Temel Benzerlik Teoremi'ni (Thales) kullanmalısınız. İplerin oluşturduğu üçgenlerdeki benzerlik oranlarına odaklanın.
2
Direkler birbirine paralel olduğu için, kesişim noktasının yüksekliğinin tersi, direk boylarının terslerinin toplamına eşittir (1h=1x+1y\frac{1}{h} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}).
3
Formülde h=4,8h = 4,8 ve x=8x = 8 değerlerini yerine koyarak yy değerini hesaplayın: 14,8−18=1y\frac{1}{4,8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{y}.

Practice More

Benzer bir mantıkla, yamukta köşegenlerin kesim noktasından tabanlara paralel çizilen doğru parçasının uzunluğunu soran soruları inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Benzerlik

More questions from this topic