Examkin

Question

Difficulty: HardRutin Olmayan Problemler

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her nn tam sayısı için aşağıdaki biçimde belirlenmiştir:

* nn tek basamaklı ise: f(n)=2n+5f(n) = 2n + 5
* nn iki basamaklı ise: f(n)=n’nin rakamları c¸arpımıf(n) = \text{n'nin rakamları çarpımı}
* nn üç basamaklı ise: f(n)=n’nin rakamları toplamıf(n) = \text{n'nin rakamları toplamı}

İki basamaklı bir AA doğal sayısına bu işlem art arda 3 kez uygulandığında sonuç 17 bulunmaktadır.

f(f(f(A)))=17f(f(f(A))) = 17 olduğuna göre, AA sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    74
  2. B
    82
  3. 84Answer
  4. D
    92
  5. E
    98

Answer

İstenen şartları sağlayan en büyük sayı 84'tür.
Doğru cevap, işlemi tersten takip ederek bulunur. Sonuç 17 ise son işlem 2n+52n+5 olmalıdır (çünkü çarpım veya toplam ile 17 elde edilebilecek bir önceki adım çıktısı, işlem sınırları dahilinde mümkün değildir). Buradan son girdi 6 bulunur. Çarpımı 6 olan sayılar (16, 23, 32, 61) arasından, bir önceki adımda çarpım sonucu olarak elde edilebilecekler (16 ve 32) belirlenir. Çarpımı 32 olan en büyük iki basamaklı sayı 84'tür.

Step-by-Step Solution

1
İşlemi tersten analiz edelim. Son adımın (3. adım) sonucu 17'dir. Hangi sayıların sonucu 17 olabilir?
Girdi tek basamaklı olmalı: 2x+5=17⇒2x=12⇒x=62x + 5 = 17 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6. (2 veya 3 basamaklı girdilerden 17 elde edilemez çünkü önceki adımın çıktısı en fazla 81 olabilir).
Fonksiyonun ters görüntüsünü bulmak için olası durumları eledik.
2
2. adımın sonucu 6 olmalıdır. Hangi sayıların sonucu 6 olabilir?
Girdi tek basamaklı ise: 2x+5=6⇒2x=12x + 5 = 6 \Rightarrow 2x = 1 (Tam sayı değil). Girdi iki basamaklı ise: Rakamları çarpımı 6 olan sayılar {16,61,23,32}\{16, 61, 23, 32\} olabilir.
İkinci adımın girdisi, birinci adımın çıktısıdır ve en fazla 9×9=819 \times 9 = 81 olabilir.
3
1. adımın sonucu {16,61,23,32}\{16, 61, 23, 32\} kümelerinden biri olmalıdır. Başlangıç sayısı AA iki basamaklıdır ve f(A)=Rakamlar C¸arpımıf(A) = \text{Rakamlar Çarpımı} bu kümelerden birini vermelidir.
Çarpımı 61 veya 23 olan iki basamaklı sayı yoktur (asal). Çarpımı 16 olanlar: {28,82,44}\{28, 82, 44\}. Çarpımı 32 olanlar: {48,84}\{48, 84\}.
Olası A değerlerini belirledik.
4
Olası AA değerleri arasından en büyüğünü seçelim.
Adaylar: 28,44,48,82,8428, 44, 48, 82, 84. En büyüğü 84'tür.
Maksimum değeri bulma.

Key Concept

Tersine İşlem Yürütme ve Sayı Basamakları Analizi
Rate this question

Topics

Rutin Olmayan Problemler

More questions from this topic