Examkin

Question

Difficulty: HardKatı Cisimler

Taban ayrıtı 6 cm ve yüksekliği 9 cm olan eşkenar üçgen dik prizma biçimindeki bir kutunun A köşesinde bulunan bir karınca, kutunun yanal yüzeyi üzerinden ilerleyerek üst tabandaki B' ve C' köşelerini birleştiren ayrıtın orta noktası olan K noktasına gitmek istiyor.

Buna göre, karıncanın alabileceği en kısa yol kaç cm'dir?

  1. A
    636\sqrt{3}
  2. B
    3133\sqrt{13}
  3. C
    12
  4. 929\sqrt{2}Answer
  5. E
    15

Answer

Karıncanın alacağı en kısa yol 9\sqrt{2} cm'dir.
Prizma açıldığında, A noktasından K noktasına giden yol bir dik üçgenin hipotenüsü olur. Bu üçgenin düşey kenarı prizma yüksekliği olan 9 cm'dir. Yatay kenarı ise, karıncanın geçtiği AB kenarı (6 cm) ile hedef K noktasına ulaşmak için kat ettiği BC kenarının yarısının (3 cm) toplamı olan 9 cm'dir. Pisagor bağıntısı ile 92+92=92\sqrt{9^2 + 9^2} = 9\sqrt{2} bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Prizmanın yanal yüzeyini düzlem üzerine açın.
Yanal yüzey, yan yana dikdörtgenlerden oluşan bir yapıdır.
Yüzey üzerindeki en kısa yol, açınım yapıldığında iki nokta arasındaki doğru parçasıdır.
2
Başlangıç (A) ve bitiş (K) noktalarının açınım üzerindeki konumlarını belirleyin.
A noktası ile K noktası arasındaki yatay mesafe, bir yüzeyin genişliği (6 cm) artı diğer yüzeyin yarısı (3 cm) olup toplam 9 cm'dir.
K noktası B'C' ayrıtının ortasında olduğu için, karınca A'dan çıkıp AB B'A' yüzeyini tam, BC C'B' yüzeyini yarım geçer.
3
Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayın.
Dik kenarlar 9 cm (yatay) ve 9 cm (düşey) olduğundan, hipotenüs: 92+92=92\sqrt{9^2 + 9^2} = 9\sqrt{2}.
Yükseklik prizmanın yüksekliği olan 9 cm'dir.

Key Concept

Katı Cisimlerin Açınımı ve Yüzey Üzerinde En Kısa Yol

Hints

1
Cismin yüzeyi üzerinden en kısa yolu bulmak için şeklin açınımını (açık halini) çizmeyi deneyin.
2
Açınımı çizdiğinizde, yolun bir dik üçgenin hipotenüsü olduğunu göreceksiniz. Bu üçgenin dik kenarlarını (yatay ve düşey mesafe) belirleyin.
3
Düşey kenar prizmanın yüksekliği olan 9 cm'dir. Yatay kenar ise A'dan K'ya gitmek için geçilen taban ayrıtlarının toplam uzunluğudur (bir tam kenar + yarım kenar).

Alternative Method

Koordinat sistemi kullanarak: Açınım düzleminde A(0,0) ise, K noktası (6+3, 9) koordinatlarında olur. İki nokta arası uzaklık formülü ile hesaplanabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Katı Cisimler

More questions from this topic