Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar

x,yx, y ve zz birbirinden farklı asal sayılardır.

x⋅y=11z+20x \cdot y = 11z + 20

olduğuna göre, x+y+zx + y + z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

  1. A
    57
  2. 61Answer
  3. C
    65
  4. D
    69
  5. E
    73

Answer

Doğru cevap 61'dir (x=3,y=47,z=11x=3, y=47, z=11).
Verilen x⋅y=11z+20x \cdot y = 11z + 20 eşitliğinde, z=11z=11 değeri denendiğinde eşitlik x⋅y=141x \cdot y = 141 olur. 141141 sayısı 3⋅473 \cdot 47 şeklinde çarpanlarına ayrılır. 3, 47 ve 11 sayıları birbirinden farklı asal sayılar olduğu için şartlar sağlanır. Bu sayıların toplamı 3+47+11=613 + 47 + 11 = 61 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin teklik-çiftlik durumunu analiz et.
x⋅y=11z+20x \cdot y = 11z + 20. Eğer z=2z=2 olursa xy=22+20=42xy = 22+20=42. 42'nin asal çarpanları (2,3,7) iki asal sayının çarpımı şeklinde yazılamaz (6⋅76\cdot7 veya 2⋅212\cdot21 asal değil). Bu nedenle z≠2z \neq 2, yani zz tektir.
Asal sayılarda çift olan tek sayı 2'dir. Diğer tüm asallar tektir.
2
xx ve yy'nin durumunu belirle.
zz tek olduğuna göre 11z11z tektir. 11z+2011z + 20 (Tek + Çift) işlemi sonucunda x⋅yx \cdot y tek sayı olmalıdır. Bu durumda xx ve yy de tek asal sayılardır.
İki sayının çarpımı tek ise, çarpanların her ikisi de tek olmalıdır.
3
zz için küçük tek asal sayıları deneyerek xx ve yy'yi bul.
- z=3z=3 için: x⋅y=33+20=53x \cdot y = 33 + 20 = 53. 53 asaldır, çarpanları 1 ve 53'tür. 1 asal olmadığından çözüm yok.
- z=5z=5 için: x⋅y=55+20=75x \cdot y = 55 + 20 = 75. 75=3⋅2575 = 3 \cdot 25 veya 5⋅155 \cdot 15 (çarpanlar asal değil).
- z=7z=7 için: x⋅y=77+20=97x \cdot y = 77 + 20 = 97. 97 asaldır, çözüm yok.
- z=11z=11 için: x⋅y=121+20=141x \cdot y = 121 + 20 = 141. 141=3⋅47141 = 3 \cdot 47. Hem 3 hem 47 asaldır. Bu geçerli bir çözümdür.
Deneme yanılma yoluyla şartları sağlayan en küçük asal sayıları tespit etmek gerekir.
4
Bulunan değerleri topla.
x=3,y=47,z=11x=3, y=47, z=11 (veya x=47,y=3x=47, y=3). Hepsi birbirinden farklı asallardır. Toplam: 3+47+11=613 + 47 + 11 = 61.
Sonuç hesabı.

Key Concept

Asal Sayıların Özellikleri ve Teklik-Çiftlik Analizi

Hints

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 11z+2011z + 20 ifadesinin tek mi yoksa çift mi olabileceğini düşünün. Asal sayılar içinde sadece 2 çifttir.
2
z=2z=2 olduğunda eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edin. Sağlanmıyorsa zz'nin tek sayı olduğu durumlara (z=3,5,7,…z=3, 5, 7, \dots) odaklanın.
3
141 sayısının rakamları toplamına bakarak 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol edin.

Alternative Method

Modüler aritmetik kullanarak: xy≡20≡9(mod11)xy \equiv 20 \equiv 9 \pmod{11}. Eğer x=3x=3 denersek 3y≡9(mod11)  ⟹  y≡3(mod11)3y \equiv 9 \pmod{11} \implies y \equiv 3 \pmod{11}. yy'nin 3, 14, 25, 36, 47... değerleri için asallık kontrolü yapılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic