Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Alan

[AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] olan ABCABC dik üçgeninde, CC köşesine ait iç açıortay [AB][AB] kenarını DD noktasında kesmektedir.

∣AD∣=5|AD| = 5 cm ve ∣BD∣=3|BD| = 3 cm olduğuna göre, ADCADC üçgeninin alanı kaç cm2cm^2'dir?

  1. A
    9
  2. B
    10
  3. C
    12
  4. 15Answer
  5. E
    24

Answer

ADC üçgeninin alanı 15 cm2cm^2'dir.
Açıortay teoremi gereği kenarlar 3k3k ve 5k5k orantılıdır. Pisagor bağıntısı ile k=2k=2 bulunur ve dik kenar ∣BC∣=6|BC|=6 cm çıkar. İstenen ADCADC üçgeninin tabanı ∣AD∣=5|AD|=5 cm, bu tabana ait yükseklik ise ∣BC∣=6|BC|=6 cm'dir. Alan formülü ile sonuç 15 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Açıortay teoremini uygula.
∣AC∣∣BC∣=∣AD∣∣BD∣=53\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|BD|} = \frac{5}{3} olduğundan, ∣AC∣=5k|AC| = 5k ve ∣BC∣=3k|BC| = 3k denilebilir.
Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranına göre böler.
2
ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak k değerini bul.
∣AB∣=5+3=8|AB| = 5 + 3 = 8 cm'dir. (5k)2=(3k)2+82⇒25k2=9k2+64⇒16k2=64⇒k=2(5k)^2 = (3k)^2 + 8^2 \Rightarrow 25k^2 = 9k^2 + 64 \Rightarrow 16k^2 = 64 \Rightarrow k = 2.
Hipotenüsün karesi dik kenarların kareleri toplamına eşittir.
3
BC kenar uzunluğunu ve ADC üçgeninin alanını hesapla.
∣BC∣=3k=3(2)=6|BC| = 3k = 3(2) = 6 cm. Alan(ADCADC) = 12⋅∣AD∣⋅∣BC∣=12⋅5⋅6=15\frac{1}{2} \cdot |AD| \cdot |BC| = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15 cm2cm^2.
Geniş açılı veya dik üçgen parçalarında, bir kenara (AD) ait yükseklik o doğrunun uzantısına (BC) inen dikme olabilir. Burada D noktası AB üzerinde olduğundan, AD tabanına ait yükseklik BC uzunluğudur.

Key Concept

İç Açıortay Teoremi ve Alan Paylaşımı

Hints

1
C köşesinden çıkan açıortay, karşı kenarı (AB) komşu kenarların (AC ve BC) oranına göre böler. Bu oranı yazın.
2
∣AC∣|AC| ve ∣BC∣|BC| kenarlarını kk cinsinden ifade edip Pisagor bağıntısı uygulayarak ∣BC∣|BC| uzunluğunu bulun.
3
∣BC∣|BC| uzunluğu 6 cm'dir. ADC üçgeninin alanı için taban olarak AD'yi (5 cm), yükseklik olarak ise BC'yi kullanabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir soruyu dik üçgen yerine çeşitkenar bir üçgende, alan oranı verilip kenar uzunluğu sorularak çözün.

Alternative Method

Tüm alan üzerinden gidilebilir: Alan(ABC) = 12⋅8⋅6=24\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24. Alanlar tabanlarla orantılıdır (Yükseklikleri eşit olduğu için). Tabanlar 5 ve 3 olduğuna göre, toplam 8 birimlik tabana 24 alan düşerse, 5 birimlik tabana (AD) düşen alan 58⋅24=15\frac{5}{8} \cdot 24 = 15 olur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Alan

More questions from this topic