Examkin

Question

Difficulty: HardÇarpanlara Ayırma
a≠1a \neq 1 olmak üzere,
a6−1(a2+1)2−a2⋅a2+a+1a3−1 \frac{a^6 - 1}{(a^2 + 1)^2 - a^2} \cdot \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1}
ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
  1. a+1a + 1Answer
  2. B
    a−1a - 1
  3. C
    a2+1a^2 + 1
  4. D
    11
  5. E
    aa

Answer

İfadenin en sade hâli a+1a + 1 olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifade incelendiğinde, a6−1a^6-1 terimi (a3−1)(a3+1)(a^3-1)(a^3+1) olarak, paydadaki (a2+1)2−a2(a^2+1)^2-a^2 terimi ise a4+a2+1=(a2+a+1)(a2−a+1)a^4+a^2+1 = (a^2+a+1)(a^2-a+1) olarak çarpanlarına ayrılır. İfadedeki ortak çarpanlar olan (a3−1)(a^3-1) ve (a2+a+1)(a^2+a+1) sadeleştirildiğinde geriye (a3+1)/(a2−a+1)(a^3+1) / (a^2-a+1) kalır. Son olarak a3+1a^3+1 ifadesi (a+1)(a2−a+1)(a+1)(a^2-a+1) şeklinde açıldığında paydadaki terimle sadeleşir ve sonuç a+1a+1 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
a6−1a^6 - 1 ifadesini iki kare farkı yardımıyla çarpanlarına ayırın.
a6−1=(a3−1)(a3+1)a^6 - 1 = (a^3 - 1)(a^3 + 1)
Yüksek dereceli terimleri daha yönetilebilir parçalara ayırmak için temel özdeşliklerden faydalanılır.
2
Paydada yer alan (a2+1)2−a2(a^2 + 1)^2 - a^2 ifadesini açın ve düzenleyin.
a4+2a2+1−a2=a4+a2+1a^4 + 2a^2 + 1 - a^2 = a^4 + a^2 + 1
İfadeyi sadeleştirebilmek için terimleri polinom formatına getirmek gerekir.
3
a4+a2+1a^4 + a^2 + 1 ifadesini, terim ekleyip çıkarma yöntemiyle (veya iki kare farkı olarak) çarpanlarına ayırın.
a4+a2+1=(a2+a+1)(a2−a+1)a^4 + a^2 + 1 = (a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)
a4+a2+1a^4 + a^2 + 1 ifadesi özdeşliklerden gelen özel bir çarpan yapısına sahiptir.
4
Tüm çarpanları ana ifadede yerine koyarak sadeleştirmeleri yapın.
(a3−1)(a3+1)(a2+a+1)(a2−a+1)⋅a2+a+1a3−1=a3+1a2−a+1\frac{(a^3 - 1)(a^3 + 1)}{(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)} \cdot \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1} = \frac{a^3 + 1}{a^2 - a + 1}
Pay ve paydadaki ortak olan (a3−1)(a^3 - 1) ve (a2+a+1)(a^2 + a + 1) terimleri birbirini sadeleştirir.
5
Kalan a3+1a^3 + 1 ifadesini küpler toplamı özdeşliği ile açarak son sadeleştirmeyi gerçekleştirin.
(a+1)(a2−a+1)a2−a+1=a+1\frac{(a + 1)(a^2 - a + 1)}{a^2 - a + 1} = a + 1
a2−a+1a^2 - a + 1 çarpanları birbirini yok eder ve en sade sonuç elde edilir.

Key Concept

İki kare farkı, küp toplamı/farkı ve özel üç terimlilerin çarpanlarına ayrılması.

Practice More

Benzer bir yöntemle x4+4x^4 + 4 ifadesini tam kareye tamamlayarak çarpanlarına ayırmayı deneyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Çarpanlara Ayırma

More questions from this topic