Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bir kurumun arşivinde bulunan dosyalar, xx pozitif tam sayısından başlanarak ardışık çift tam sayılar ile numaralandırılmıştır. Dosyaların üzerindeki numaraların toplamı, bu dosyalardan en küçük ve en büyük numaralı olanların toplamının 24 katıdır.

En büyük dosya numarası 110 olduğuna göre, en küçük dosya numarası (xx) kaçtır?

  1. A
    14
  2. 16Answer
  3. C
    18
  4. D
    20
  5. E
    22

Answer

En küçük dosya numarası 16'dır.
Ardışık sayı dizilerinde toplam, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir (veya terim sayısı çarpı uç değerlerin aritmetik ortalaması). Soruda toplamın, uç değerler toplamının 24 katı olduğu belirtilmiştir. Matematiksel olarak Toplam=n⋅ailk+ason2Toplam = n \cdot \frac{a_{ilk} + a_{son}}{2} ve verilen bilgi Toplam=24⋅(ailk+ason)Toplam = 24 \cdot (a_{ilk} + a_{son}) olduğundan, bu iki ifade eşitlendiğinde terim sayısı n=48n=48 olarak bulunur. Son terimi bilinen (110110) ve 48 terimden oluşan ardışık çift sayı dizisinin ilk terimi, ason=ailk+(n−1)ra_{son} = a_{ilk} + (n-1)r formülüyle 110=x+(47⋅2)110 = x + (47 \cdot 2) işleminden x=16x=16 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen toplam ilişkisinden terim sayısını (n) bulma
n=48n = 48
Ardışık sayıların toplamı T=n⋅a1+an2T = n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2} formülü ile bulunur. Soruda T=24⋅(a1+an)T = 24 \cdot (a_1 + a_n) verildiği için, n⋅a1+an2=24⋅(a1+an)n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2} = 24 \cdot (a_1 + a_n) eşitliğinden n/2=24n/2 = 24 ve buradan n=48n = 48 bulunur.
2
Sonlu dizi formülünü kullanarak ilk terimi (xx) hesaplama
110=x+(48−1)⋅2  ⟹  x=16110 = x + (48-1) \cdot 2 \implies x = 16
Son terim formülü an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot r şeklindedir. Burada an=110a_n = 110, n=48n = 48 ve ardışık çift sayılar olduğu için artış miktarı r=2r = 2'dir. Değerler yerine konulduğunda 110=x+47⋅2110 = x + 47 \cdot 2 denklemi elde edilir.
3
Denklemi çözme
x=110−94=16x = 110 - 94 = 16
47⋅2=9447 \cdot 2 = 94 bulunur ve bu değer 110'dan çıkarılarak ilk terim elde edilir.

Key Concept

Ardışık Sayılar Toplam Formülü ve Terim Sayısı İlişkisi

Hints

1
Ardışık sayıların toplam formülünü hatırlayın: Terim Sayısı×I˙lk Terim+Son Terim2\text{Terim Sayısı} \times \frac{\text{İlk Terim} + \text{Son Terim}}{2}.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic