Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bir laboratuvarda analiz edilen deney numuneleri, belirli bir pozitif tek tam sayıdan başlayarak ardışık tam sayılarla kodlanmıştır.

Kodlama işlemi tamamlandığında numunelerle ilgili şu iki durum tespit edilmiştir:

1. Tek sayı olan kodların toplamı, çift sayı olan kodların toplamından 6565 fazladır.
2. Verilen en son kod numarası, ilk kod numarasının 22 katından 77 fazladır.

Buna göre, bu laboratuvarda numunelere verilen en büyük kod numarası kaçtır?

  1. A
    85
  2. B
    87
  3. 89Answer
  4. D
    91
  5. E
    93

Answer

En büyük kod numarası 89'dur.
Soruda verilen ardışık tam sayı dizisi tek sayı ile başlayıp tek sayı ile bitmelidir (Çünkü teklerin toplamı daha fazladır). İlk sayıya xx, son sayıya x+2kx+2k dersek; teklerin toplamı ile çiftlerin toplamı arasındaki fark x+kx + k olur. Bu fark 65 olarak verilmiştir (x+k=65x+k=65). Ayrıca son terimin (x+2kx+2k), ilk terimin (xx) 2 katından 7 fazla olduğu belirtilmiştir (x+2k=2x+7x+2k = 2x+7). Bu iki denklem çözüldüğünde k=24k=24 ve x=41x=41 bulunur. En büyük numara olan son terim ise 41+48=8941 + 48 = 89 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin yapısını ve terim türlerini modelle.
İlk terim tek sayı (xx) olduğu için dizi T,C\c,T,C\c,…,TT, Ç, T, Ç, \dots, T şeklinde gitmelidir (Tekler toplamı Çiftlerden fazla olduğu için son terim Tek olmalıdır). Dizi: x,x+1,…,x+2kx, x+1, \dots, x+2k.
Toplam farkının pozitif olması ve dizinin ardışık gitmesi, dizinin tek sayı ile başlayıp tek sayı ile bittiğini gösterir.
2
Tek ve çift sayılar arasındaki toplam farkını formülize et.
Fark = x+k=65x + k = 65.
Dizi xx ile başlar. Sonraki her ardışık ikilide (Tek - Çift) farkı yoktur, ancak burada sıralama T,(C\c,T),(C\c,T)...T, (Ç, T), (Ç, T)... değil, gruplama mantığıyla: x+(x+2−(x+1))+…x + (x+2 - (x+1)) + \dots şeklinde düşünülürse; xx (ilk tek) hariç, geriye kalan kk adet (Tek - Çift) çiftinden her biri +1+1 fark getirir. Toplam Fark = x+kx + k.
3
Son terim ve ilk terim arasındaki ilişkiyi denkleme dök.
Son Terim = x+2kx + 2k. Verilen ilişki: x+2k=2x+7x + 2k = 2x + 7.
Ardışık sayılarda son terim, ilk terime adım sayısı eklenerek bulunur.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çöz.
x+2k=2x+7⇒2k−x=7x + 2k = 2x + 7 \Rightarrow 2k - x = 7. Sistem: 1) x+k=65⇒x=65−kx + k = 65 \Rightarrow x = 65 - k. 2) 2k−(65−k)=7⇒3k=72⇒k=242k - (65 - k) = 7 \Rightarrow 3k = 72 \Rightarrow k = 24. Buradan x=41x = 41.
Yerine koyma metodu ile bilinmeyenler bulunur.
5
En büyük kod numarasını (son terimi) hesapla.
Son Terim = x+2k=41+2(24)=41+48=89x + 2k = 41 + 2(24) = 41 + 48 = 89.
Soruda istenen değer son terimdir.

Key Concept

Ardışık tek ve çift sayıların toplam farkı analizi ve denklem kurma.

Hints

1
Dizinin bir tek sayı ile başladığını ve ardışık tam sayılar olduğunu (T,C\c,T,C\c...T, Ç, T, Ç...) göz önüne alarak modelleyin.
2
Teklerin toplamının çiftlerden fazla olabilmesi için dizinin tek sayı ile başlayıp tek sayı ile bitmesi gerekir. Dizi: x,x+1,...,x+2kx, x+1, ..., x+2k.
3
Bu dizideki Tekler Toplamı - Çiftler Toplamı farkı her zaman x+kx + k değerine eşittir.

Practice More

Ardışık çift sayıların toplamı ile ilgili benzer bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Değer vererek deneme yöntemi: Seçeneklerden gidilerek (örneğin 89 son terim olsa), ilk terim (89−7)/2=41(89-7)/2 = 41 olur. 41'den 89'a kadar olan dizide farkın 65 olup olmadığı kontrol edilebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic