Bir ABC dik üçgeninde [AB] \perp [AC]'dir. Bu üçgenin ağırlık merkezi G noktası, diklik me… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ 'dir. Bu üçgenin ağırlık merkezi $G$ noktası, diklik merkezi ise $K$ noktasıdır. $|GK| = 6$ cm olduğuna göre, $ABC$ üçgeninin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?

A
9
B
12
18Answer
D
24
E
36

Answer

Dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 18 cm'dir.

Dik üçgende diklik merkezi dik açının bulunduğu köşedir. Soruda

[AB] \perp [AC]

verildiği için diklik merkezi

A

noktasıdır. Ağırlık merkezi

G

, bir kenarortayı köşeden kenara doğru

2:1

oranında böler. Dolayısıyla

|AG| = 6

cm ise, kenarortayın tamamı

9

cm olur. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısı olduğu için (

9 = \frac{BC}{2}

), hipotenüs uzunluğu

18

cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Diklik merkezinin konumunu belirleyin.

K = A

Dik üçgenlerde diklik merkezi (yüksekliklerin kesim noktası), dik açının bulunduğu köşedir.

Diklik merkezi (

K

) ile ağırlık merkezi (

G

) arasındaki mesafeyi kenarortay cinsinden ifade edin.

|AG| = 6

K

noktası

A

olduğu için

|GK| = |AG|

olur.

A

köşesinden çizilen

[AD]

kenarortayı üzerinde

|AG| = \frac{2}{3} |AD|

bağıntısı vardır.

Kenarortay uzunluğunu (

V_a

) hesaplayın.

6 = \frac{2}{3} V_a \Rightarrow V_a = 9

Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren

2

birim, kenardan itibaren

1

birim olacak şekilde böler.

Muhteşem üçlü özelliğini kullanarak hipotenüsü bulun.

|BC| = 2 \times 9 = 18

Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.

Key Concept

Dik üçgende diklik merkezinin yeri, ağırlık merkezinin kenarortay üzerindeki bölme oranı ve muhteşem üçlü kuralı.

Hints

Dik üçgende diklik merkezinin (yüksekliklerin kesiştiği nokta) hangi köşe olduğunu hatırlayın.

Ağırlık merkezi, üzerinden geçtiği kenarortayı köşeden kenara doğru

2k

k

şeklinde iki parçaya ayırır.

Dik üçgende hipotenüse indirilen kenarortay uzunluğu ile hipotenüs arasındaki 'Muhteşem Üçlü' ilişkisini kurun.

Practice More

Diklik merkezi üçgenin dışında olan (geniş açılı) üçgenlerde ağırlık merkezi ile mesafeler üzerine pratik yapabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Topics

More questions from this topic