Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

nn bir pozitif tam sayı olmak üzere; nn elemanlı ardışık çift tam sayılar kümesi AA, nn elemanlı ardışık tek tam sayılar kümesi BB olarak tanımlanıyor.

Bu kümelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- AA kümesindeki en büyük sayı, BB kümesindeki en küçük sayıdan 2323 fazladır.
- AA kümesindeki sayıların toplamı ile BB kümesindeki sayıların toplamı arasındaki fark 7777'dir (A−B=77A - B = 77).

Buna göre, nn kaçtır?

  1. A
    5
  2. 7Answer
  3. C
    9
  4. D
    11
  5. E
    13

Answer

Verilen matematiksel modeller ve denklem çözümü sonucunda n değeri 7 olarak bulunur.
Kümelerin ilk terimleri arasındaki fark (x−yx-y) ile terim sayısı (nn) çarpımı 77'yi vermelidir. Aynı zamanda en büyük terim ilişkisinden x−yx-y ifadesinin 25−2n25-2n olduğu belirlenir. Bu iki bilgi birleştirildiğinde oluşan ikinci dereceden denklemin pozitif tam sayı kökü 7'dir.

Step-by-Step Solution

1
AA ve BB kümelerinin elemanlarını temsil eden değişkenleri tanımla.
A={x,x+2,…,x+2n−2}A = \{x, x+2, \dots, x+2n-2\} (xx çift), B={y,y+2,…,y+2n−2}B = \{y, y+2, \dots, y+2n-2\} (yy tek)
Ardışık çift ve tek sayılar ikişer ikişer artar. nn tane terim olduğu için son terim ilk terimden 2(n−1)2(n-1) fazladır.
2
AA ve BB kümelerinin toplam farkını nn cinsinden ifade et.
A−B=n(x−y)=77A - B = n(x - y) = 77
Her iki küme de nn elemanlıdır. Terimler arasındaki farklar toplandığında küme toplamlarının farkı, ilk terimlerin farkının nn katına eşit olur.
3
En büyük çift sayı ile en küçük tek sayı arasındaki ilişkiyi denkleme dök.
x+2n−2=y+23⇒x−y=25−2nx + 2n - 2 = y + 23 \Rightarrow x - y = 25 - 2n
AA kümesinin en büyüğü x+2n−2x+2n-2, BB kümesinin en küçüğü yy'dir. Aradaki fark 23 olarak verilmiştir.
4
İkinci ve üçüncü adımdaki denklemleri birleştirerek nn'yi çöz.
n(25−2n)=77⇒2n2−25n+77=0⇒(2n−11)(n−7)=0n(25 - 2n) = 77 \Rightarrow 2n^2 - 25n + 77 = 0 \Rightarrow (2n - 11)(n - 7) = 0
nn değeri bir tam sayı olmalıdır. 2n−11=02n-11=0 ise n=5,5n=5,5 (tam sayı değil), n−7=0n-7=0 ise n=7n=7 bulunur.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde toplam formülü ve terimler arası doğrusal ilişkilerin denklem sistemine dönüştürülmesi.
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic