Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] olarak verilmiştir. Üçgenin ağırlık merkezi olan GG noktasının [AB][AB] kenarına olan en kısa uzaklığı 66 cm, [AC][AC] kenarına olan en kısa uzaklığı ise 88 cm'dir. Buna göre, hipotenüs olan ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    10
  2. B
    20
  3. C
    25
  4. 30Answer
  5. E
    40

Answer

Dik kenarlar 18 cm ve 24 cm bulunduğundan hipotenüs 30 cm'dir.
Doğru cevap, ağırlık merkezinin koordinat mantığı veya benzerlik özelliği kullanılarak bulunur. Dik üçgende dik kenarlar aynı zamanda yüksekliktir. Ağırlık merkezinin bir dik kenara uzaklığı, diğer dik kenar uzunluğunun 1/3'üne eşittir. Verilen 6 cm ve 8 cm uzaklıkları 3 ile çarpıldığında üçgenin dik kenarları 18 cm ve 24 cm olarak bulunur. Pisagor bağıntısı (veya 3-4-5 üçgeninin 6 katı) uygulandığında hipotenüs 30 cm çıkar.

Step-by-Step Solution

1
Ağırlık merkezi (GG) özelliğini hatırla
Ağırlık merkezinin bir kenara olan uzaklığı, o kenara ait yüksekliğin 3'te 1'idir.
Kenarortaylar birbirini 1'e 2 oranında böler (köşeye 2, kenara 1 birim). Benzerlikten dolayı ağırlık merkezinin tabana uzaklığı (hgh_g), köşenin tabana uzaklığının (hah_a) 1/3'ü olur.
2
Dik kenar uzunluklarını hesapla
∣AC∣=3×6=18|AC| = 3 \times 6 = 18 cm ve ∣AB∣=3×8=24|AB| = 3 \times 8 = 24 cm.
Dik üçgende [AB][AB] kenarına ait yükseklik [AC][AC] kenarının kendisidir. GG'nin [AB][AB]'ye uzaklığı 6 ise, ∣AC∣=3×6=18|AC| = 3 \times 6 = 18'dir. Benzer şekilde ∣AB∣=3×8=24|AB| = 3 \times 8 = 24'tür.
3
Pisagor bağıntısı ile hipotenüsü bul
∣BC∣2=182+242⇒∣BC∣=30|BC|^2 = 18^2 + 24^2 \Rightarrow |BC| = 30 cm.
Kenarları 18 ve 24 olan üçgen, 3-4-5 özel üçgeninin 6 katıdır (18-24-30).

Key Concept

Ağırlık merkezinin kenarlara olan dik uzaklığı, ilgili kenara ait yüksekliğin 1/3'üne eşittir.

Hints

1
Dik üçgeni koordinat sisteminde düşünün: AA köşesi (0,0)(0,0) noktasında olsun. GG noktasının koordinatları (6,8)(6, 8) gibi düşünülebilir mi?
2
Ağırlık merkezi (GG), kenarortay üzerinde köşeye 2 birim, kenara 1 birim uzaklıktadır. Bu oran, GG'nin kenarlara olan dik uzaklığına nasıl yansır?
3
GG noktasının tabana uzaklığı, o tabana ait yüksekliğin 3'te 1'idir. Yani dik kenarlar, verilen uzaklıkların 3 katıdır.

Practice More

Benzer bir soruyu, üçgen dik üçgen olmadığında ve sadece alan sorulduğunda çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Koordinat sistemi yöntemi: A(0,0)A(0,0) olsun. G(x,y)G(x,y) ağırlık merkezi ise ve kenarlara uzaklıkları 6 ve 8 ise, GG noktası (6,8)(6,8) veya (8,6)(8,6) olabilir (hangi kenarın x ekseni olduğuna göre). Ağırlık merkezi formülü G(x1+x2+x33,y1+y2+y33)G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}) olduğundan, dik kenar uzunlukları bu koordinatların 3 katı olur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Yardımcı Elemanlar

More questions from this topic