Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bir site yönetiminde, daireler 1'den başlayarak nn'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Sitenin ilk etabında yer alan 1'den 14'e kadar olan numaralı daireler (14 dahil) aidat ödemesinden muaf tutulmuştur. Muafiyet uygulanan daireler hesaba katılmadığında, kalan dairelerin numaraları toplamı ile sitedeki tüm dairelerin numaraları toplamının 1535 olduğu hesaplanmıştır. Buna göre, sitede toplam kaç daire bulunmaktadır?

  1. A
    39
  2. 40Answer
  3. C
    41
  4. D
    42
  5. E
    44

Answer

Sitedeki toplam daire sayısı 40'tır.
Soruda verilen ilişki, tüm sayıların toplamı ile ilk 14 sayının eksiltilmesiyle elde edilen kalan toplamın 1535 olduğudur. Matematiksel olarak Ttu¨m+(Ttu¨m−Tilk_14)=1535T_{tüm} + (T_{tüm} - T_{ilk\_14}) = 1535 denklemi kurulur. İlk 14 sayının toplamı 105 olarak hesaplanır. Denklem çözüldüğünde 1'den n'ye kadar olan sayıların toplamının 820 olduğu bulunur. n(n+1)2=820\frac{n(n+1)}{2} = 820 eşitliğinden n(n+1)=1640n(n+1) = 1640 elde edilir. Bu çarpımı sağlayan ardışık tam sayılar 40 ve 41'dir, dolayısıyla n=40n=40 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Problemi matematiksel ifadelere dök.
Tüm dairelerin toplamı Ttu¨m=1+2+...+nT_{tüm} = 1 + 2 + ... + n. Kalan dairelerin toplamı Tkalan=15+...+nT_{kalan} = 15 + ... + n. Verilen eşitlik: Ttu¨m+Tkalan=1535T_{tüm} + T_{kalan} = 1535.
Sözel ifadeyi çözülebilir denklemlere dönüştürmek için.
2
Muaf tutulan dairelerin (1'den 14'e kadar) toplamını hesapla.
Tmuaf=14×152=105T_{muaf} = \frac{14 \times 15}{2} = 105.
Kalan toplamı, tüm toplam cinsinden ifade edebilmek için (Tkalan=Ttu¨m−TmuafT_{kalan} = T_{tüm} - T_{muaf}).
3
Ana denklemi tek değişkene indirge ve çöz.
Ttu¨m+(Ttu¨m−105)=1535⇒2Ttu¨m−105=1535⇒2Ttu¨m=1640⇒Ttu¨m=820T_{tüm} + (T_{tüm} - 105) = 1535 \Rightarrow 2T_{tüm} - 105 = 1535 \Rightarrow 2T_{tüm} = 1640 \Rightarrow T_{tüm} = 820.
Tüm dairelerin numaraları toplamını bulmak için.
4
Ardışık sayılar toplam formülünü kullanarak n değerini bul.
n(n+1)2=820⇒n(n+1)=1640\frac{n(n+1)}{2} = 820 \Rightarrow n(n+1) = 1640. 40×41=164040 \times 41 = 1640 olduğundan n=40n = 40.
Daire sayısını (nn) elde etmek için.

Key Concept

Ardışık doğal sayıların toplamı (Gauss toplamı) ve sonlu toplamların özellikleri.

Hints

1
Kalan dairelerin toplamını, tüm dairelerin toplamından muaf olanları çıkararak ifade etmeyi deneyin.
2
1'den 14'e kadar olan sayıların toplamını hesaplayın ve ana denkleme yerleştirin: T+(T−105)=1535T + (T - 105) = 1535.

Practice More

Benzer bir mantıkla, belirli bir aralıktaki ardışık çift sayıların toplamı verilen bir problem çözülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic