Bir ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [AD] kenarortaydır. B açısına ait iç açıortay doğru… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Bir $ABC$ üçgeninde $G$ ağırlık merkezi ve $[AD]$ kenarortaydır. $B$ açısına ait iç açıortay doğrusu, $[AG]$ doğru parçasının orta noktasından geçmektedir. Buna göre, $\frac{|AB|}{|BC|}$ oranı kaçtır?

A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}$ Answer
D
$\frac{2}{3}$
E
$\frac{3}{4}$

Answer

\frac{1}{4}

Doğru yanıt olan

\frac{1}{4}

değerine ulaşmak için önce ağırlık merkezinin

[AD]

kenarortayını

|AG|=2|GD|

şeklinde böldüğü, ardından

[AG]

'nin orta noktası

M

ile birlikte

|AM|=|MG|=|GD|=k

eşitliğinin sağlandığı görülmelidir.

ABD

üçgeninde

[BM]

açıortay olduğundan iç açıortay teoremi gereği

|AB|/|BD| = |AM|/|MD| = k/2k = 1/2

olur.

|BC|=2|BD|

olduğu için

|AB|/|BC| = 1/4

elde edilir.

Step-by-Step Solution

Ağırlık merkezi özelliğini belirleme

|AG| = 2|GD|

Üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara doğru

2:1

oranında böler.

AG

parçasının orta noktasını (

M

) kullanma

|AM| = |MG| = k

ise

|GD| = k

olur.

|AG| = 2k

olduğunda, orta nokta bu parçayı

k, k

şeklinde böler. Ağırlık merkezi kuralından

|GD|

k

olur.

ABD

üçgeninde iç açıortay teoremini uygulama

\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AM|}{|MD|} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}

B

açısının açıortayı

[AD]

kenarını

M

noktasında kestiği için kenarların oranı ayırdığı parçaların oranına eşittir. Burada

|MD| = |MG| + |GD| = 2k

dır.

Kenarortay özelliğini kullanarak nihai oranı bulma

\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{1}{4}

|AD|

kenarortay olduğundan

|BC| = 2|BD|

dir.

\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{1}{2}

ise

\frac{|AB|}{2|BD|} = \frac{1}{4}

bulunur.

Key Concept

Ağırlık merkezi (1:2 oranı) ve iç açıortay teoreminin birlikte kullanımı

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic