Examkin

Question

Difficulty: Very hardÇarpanlara Ayırma
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
4x4+3x2+1 4x^4 + 3x^2 + 1
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. 2x2−x+12x^2 - x + 1Answer
  2. B
    2x2+x−12x^2 + x - 1
  3. C
    2x2−2x+12x^2 - 2x + 1
  4. D
    2x2+12x^2 + 1
  5. E
    2x2−3x+12x^2 - 3x + 1

Answer

2x2−x+12x^2 - x + 1 ifadesi doğru çarpandır.
Verilen 4x4+3x2+14x^4 + 3x^2 + 1 ifadesi standart yöntemlerle çarpanlarına ayrılamaz. Bu tip ifadelerde 'terim ekleyip çıkarma' yöntemi kullanılır. İfadeye x2x^2 ekleyip çıkarırsak: (4x4+4x2+1)−x2(4x^4 + 4x^2 + 1) - x^2 elde ederiz. İlk kısım (2x2+1)(2x^2+1)'in karesidir. Böylece ifade (2x2+1)2−x2(2x^2+1)^2 - x^2 şeklinde iki kare farkına dönüşür. Buradan ((2x2+1)−x)((2x2+1)+x)((2x^2+1)-x)((2x^2+1)+x) çarpanları bulunur. Seçeneklerdeki 2x2−x+12x^2 - x + 1 bu çarpanlardan biridir.

Step-by-Step Solution

1
İfadeyi tam kareye tamamlayacak şekilde uygun bir terim ekleyip çıkaralım.
4x4+3x2+14x^4 + 3x^2 + 1 ifadesini (4x4+4x2+1)−x2(4x^4 + 4x^2 + 1) - x^2 şeklinde yazarız.
Bu sayede ifade iki kare farkı formatına dönüştürülebilir.
2
İlk parantez içindeki ifadeyi tam kare olarak yazalım.
4x4+4x2+1=(2x2+1)24x^4 + 4x^2 + 1 = (2x^2 + 1)^2 olduğu için ifade (2x2+1)2−x2(2x^2 + 1)^2 - x^2 halini alır.
Tam kare özdeşliğinin tanınması.
3
İki kare farkı özdeşliğini (a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)) uygulayalım.
((2x2+1)−x)((2x2+1)+x)((2x^2 + 1) - x)((2x^2 + 1) + x)
Çarpanlara ayırma işleminin tamamlanması.
4
Çarpanları düzenleyelim ve seçenekleri kontrol edelim.
Çarpanlar (2x2−x+1)(2x^2 - x + 1) ve (2x2+x+1)(2x^2 + x + 1) olarak bulunur.
Bulunan çarpanların seçeneklerle eşleştirilmesi.

Key Concept

Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma

Hints

1
İfadeyi standart yöntemlerle (paranteze alma veya gruplandırma) çarpanlarına ayıramıyorsanız, ifadeyi bir tam kareye tamamlamayı düşünün.
2
4x4+3x2+14x^4 + 3x^2 + 1 ifadesini (2x2+1)2(2x^2+1)^2 formuna benzetmek için ne eklenip çıkarılmalıdır?
3
İfadeye x2x^2 ekleyip x2x^2 çıkarın. Böylece (4x4+4x2+1)−x2(4x^4 + 4x^2 + 1) - x^2 elde edeceksiniz. Şimdi iki kare farkı özdeşliğini kullanın.

Practice More

x4+x2+1x^4 + x^2 + 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılması sorusunu inceleyiniz.

Alternative Method

Değişken değiştirme yöntemi denenerek x2=tx^2 = t dönüşümü yapılabilir, ancak 4t2+3t+14t^2 + 3t + 1 ifadesinin reel kökü olmadığı (diskriminant < 0) görüldüğünde, bu yolun kapalı olduğu anlaşılır ve terim ekleme yöntemine dönülür.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Çarpanlara Ayırma

More questions from this topic