Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Ardışık nn tane tek tam sayı küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Bu sayıların ilk üçünün toplamı AA, son üçünün toplamı ise BB olarak ifade ediliyor.

B−A=72B - A = 72

olduğuna göre, bu grupta toplam kaç sayı vardır?

  1. A
    11
  2. B
    13
  3. 15Answer
  4. D
    17
  5. E
    27

Answer

Verilen sayı grubunda toplam 15 adet sayı bulunmaktadır.
Dizideki ilk üç terimin toplamı ortadaki terim olan a2a_2'nin 3 katı, son üç terimin toplamı ise ortadaki terim olan an−1a_{n-1}'in 3 katıdır. 3(an−1−a2)=723(a_{n-1} - a_2) = 72 eşitliğinden terimler arası farkın 2424 olduğu görülür. Ardışık tek sayılar 2'şer arttığı için an−1−a2=2(n−1−2)=2(n−3)a_{n-1} - a_2 = 2(n-1-2) = 2(n-3) olur. 2(n−3)=242(n-3) = 24 denkleminden n=15n=15 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Sayıları ve toplamları temsil eden ifadeleri belirleme
a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n sayıları için A=a1+a2+a3A = a_1 + a_2 + a_3 ve B=an−2+an−1+anB = a_{n-2} + a_{n-1} + a_n
Soruda verilen ilk üç ve son üç terimin toplamlarını matematiksel olarak ifade etmek gerekir.
2
Ardışık tek sayılarda grup toplamlarını orta terim cinsinden yazma
A=3a2A = 3a_2 ve B=3an−1B = 3a_{n-1}
Ardışık üç sayının toplamı, ortanca terimin 3 katına eşittir.
3
İki toplam arasındaki farkı tek bir terim farkına indirgeme
B−A=3(an−1−a2)=72⇒an−1−a2=24B - A = 3(a_{n-1} - a_2) = 72 \Rightarrow a_{n-1} - a_2 = 24
Verilen fark denkleminde terimler arasındaki ilişkiyi bulmak için sadeleştirme yapılır.
4
Terimler arasındaki indeks farkını ve değer farkını ilişkilendirme
an−1−a2=2×((n−1)−2)=2(n−3)a_{n-1} - a_2 = 2 \times ((n-1) - 2) = 2(n-3)
Ardışık tek sayılar ikişer ikişer artar; kk. terim ile jj. terim arasındaki fark 2×(k−j)2 \times (k-j)'dir.
5
Denklemi çözerek nn değerini bulma
2(n−3)=24⇒n−3=12⇒n=152(n-3) = 24 \Rightarrow n-3 = 12 \Rightarrow n = 15
Elde edilen fark değerini terim sayısı formülüne eşitleyerek toplam sayı adedine ulaşılır.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde belirli alt grupların toplamları arasındaki fark, dizinin artış miktarı ve terim sayısı arasındaki doğrusal ilişkiye bağlıdır.

Hints

1
Ardışık üç sayının toplamını, bu sayıların tam ortasındaki sayıyı kullanarak ifade etmeyi deneyin.
2
İlk üç sayının ortancası olan 2. terim ile son üç sayının ortancası olan (n−1)(n-1). terim arasındaki farkın kaç olduğunu bulun.
3
Ardışık tek sayılar 2'şer 2'şer artar. İki terim arasındaki fark, o terimlerin sıra numaraları (indeksleri) farkının 2 katıdır.

Practice More

Ardışık çift sayılarla benzer bir kurgu kurarak farkın nasıl değişeceğini analiz edebilirsiniz.

Alternative Method

Sayıları a,a+2,a+4,…a, a+2, a+4, \dots şeklinde yazarak da çözebilirsiniz. İlk üç terim: a,a+2,a+4⇒A=3a+6a, a+2, a+4 \Rightarrow A = 3a + 6. Son üç terim (toplam nn sayı varsa en sonuncusu a+2(n−1)a + 2(n-1)'dir): (a+2n−6)+(a+2n−4)+(a+2n−2)⇒B=3a+6n−12(a + 2n - 6) + (a + 2n - 4) + (a + 2n - 2) \Rightarrow B = 3a + 6n - 12. B−A=(3a+6n−12)−(3a+6)=6n−18=72B - A = (3a + 6n - 12) - (3a + 6) = 6n - 18 = 72 buradan 6n=906n = 90 ve n=15n = 15 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic