Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Benzerlik

Bir şehir planlama projesi kapsamında, ABCABC üçgeni şeklindeki bir park arazisi, taban kenarı olan BCBC yoluna paralel çizilen DEDE ve FGFG yürüyüş yolları ile üç farklı bölgeye ayrılmıştır. Arazinin ABAB kenarı üzerindeki ölçümler şu şekildedir:

∣AD∣=20 m,∣DF∣=30 m,∣FB∣=10 m|AD| = 20 \text{ m}, \quad |DF| = 30 \text{ m}, \quad |FB| = 10 \text{ m}

Ortada kalan DEGFDEGF dörtgeni şeklindeki bölgenin alanı 420 m2420 \text{ m}^2 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, parkın en alt kısmında yer alan FBCGFBCG bölgesinin alanı kaç metrekaredir?

  1. A
    140
  2. B
    180
  3. C
    200
  4. 220Answer
  5. E
    240

Answer

FBCG bölgesinin alanı 220 metrekaredir.
Üçgenlerde benzerlik oranı kk ise alanlar oranı k2k^2'dir. Tepe noktasından (A) uzaklıklar sırasıyla 20, 50 ve 60 metredir. Bunları sadeleştirirsek oranlar 2, 5 ve 6 olur. Alanlar bu sayıların kareleriyle orantılı olacaktır: 22=42^2=4, 52=255^2=25, 62=366^2=36.

Buna göre en üstteki üçgenin alanı 4S4S, ortadaki büyük üçgenin alanı 25S25S, en büyük üçgenin alanı 36S36S olur. Aradaki parçaların alanlarını bulmak için çıkarma yaparız:
- Ortadaki parça (DEGF): 25S−4S=21S25S - 4S = 21S
- En alttaki parça (FBCG): 36S−25S=11S36S - 25S = 11S

Soruda 21S=42021S = 420 m² olarak verilmiş, buradan S=20S = 20 m² bulunur. İstenen alan 11S=11×20=22011S = 11 \times 20 = 220 m²'dir.

Step-by-Step Solution

1
Benzerlik oranlarını belirle
Üçgenlerin tepe noktası A'ya göre benzerlik oranları: ADE∼AFG∼ABCADE \sim AFG \sim ABC. Oranlar kenar uzunlukları toplamına göre: k1=2020+30=25k_1 = \frac{20}{20+30} = \frac{2}{5} ve k2=2020+30+10=26=13k_2 = \frac{20}{20+30+10} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.
Paralel doğrular temel benzerlik teoremi (Thales) gereği açi-açı benzerliği oluşturur.
2
Alanlar oranını hesapla (k^2)
Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir. A(ADE)/A(AFG)=(2/5)2=4/25A(ADE)/A(AFG) = (2/5)^2 = 4/25. A(ADE)/A(ABC)=(1/3)2=1/9=4/36A(ADE)/A(ABC) = (1/3)^2 = 1/9 = 4/36.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
3
Bölgelerin alanlarını S cinsinden ifade et
A(ADE)=4SA(ADE) = 4S olsun. A(AFG)=25SA(AFG) = 25S olduğundan aradaki DEGFDEGF alanı 25S−4S=21S25S - 4S = 21S olur. A(ABC)=36SA(ABC) = 36S olduğundan en alttaki FBCGFBCG alanı 36S−25S=11S36S - 25S = 11S olur.
Toplam alanlardan üstteki parçalar çıkarılarak şeritlerin (yamukların) alanları bulunur.
4
Verilen değeri kullanarak S'i bul ve istenen alanı hesapla
Verilen DEGFDEGF alanı 21S=420  ⟹  S=2021S = 420 \implies S = 20. İstenen FBCGFBCG alanı 11S=11×20=22011S = 11 \times 20 = 220 metrekaredir.
Bulunan birim alan değeri hedef bölgenin katsayısı ile çarpılır.

Key Concept

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi (k^2)

Hints

1
Üçgenlerde tabana paralel çizilen doğrular, tepe noktasına göre benzer üçgenler oluşturur. Benzerlik oranını bulmak için kenar uzunluklarını oranlayın.
2
Benzer iki üçgenin benzerlik oranı 'k' ise, alanları oranı 'k'nın karesidir (k²). Alanları A(ADE)A(ADE), A(AFG)A(AFG) ve A(ABC)A(ABC) olarak düşünün.
3
Kenar oranları 2:5:6 şeklindedir. Alanlar bu sayıların karesiyle (4, 25, 36) orantılıdır. Parçaların alanlarını bulmak için bu kareleri birbirinden çıkararak farklarına bakın (25-4 ve 36-25).

Practice More

Benzerlik oranının hacim oranına etkisi (k^3) ile ilgili sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Benzerlik

More questions from this topic