Examkin

Question

Difficulty: Very hardKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Gerçel sayılar kümesi (mathbbR\\mathbb{R}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈R∣∣x−2∣≤4} A = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| \le 4 \}
B={x∈R∣x2−2x−8<0} B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 2x - 8 < 0 \}

Buna göre, AA kümesinde bulunup BB kümesinde bulunmayan elemanların oluşturduğu A∖BA \setminus B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. \{ -2 \} \cup [4, 6]Answer
  2. B
    [4, 6]
  3. C
    (-2, 4)
  4. D
    (-2, 6]
  5. E
    [2, 6]

Answer

{−2}∪[4,6]\{-2\} \cup [4, 6] kümesi doğru cevaptır.
Doğru cevap, AA kümesinin [−2,6][-2, 6] kapalı aralığı ve BB kümesinin (−2,4)(-2, 4) açık aralığı olarak bulunmasıyla elde edilir. A∖BA \setminus B işlemi, [−2,6][-2, 6] aralığından (−2,4)(-2, 4) aralığının çıkarılmasıdır. −2-2 noktası BB kümesine dahil olmadığı için (açık aralık), fark kümesinde kalır. Benzer şekilde 44 noktası BB kümesine dahil olmadığı için fark kümesinde kalır. 44 ile 66 arasındaki tüm sayılar da BB'de olmadığı için kalır. Sonuç olarak {−2}\{-2\} tekil elemanı ve [4,6][4, 6] kapalı aralığı elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin aralığını belirle.
∣x−2∣≤4⇒−4≤x−2≤4⇒−2≤x≤6|x - 2| \le 4 \Rightarrow -4 \le x - 2 \le 4 \Rightarrow -2 \le x \le 6. Yani A=[−2,6]A = [-2, 6].
Mutlak değer eşitsizliği −a≤u≤a-a \le u \le a kuralına göre açılır.
2
B kümesinin aralığını belirle.
x2−2x−8<0⇒(x−4)(x+2)<0x^2 - 2x - 8 < 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 2) < 0. Kökler x=4x=4 ve x=−2x=-2. İşaret tablosuna göre negatif olduğu aralık (−2,4)(-2, 4). Yani B=(−2,4)B = (-2, 4).
İkinci dereceden eşitsizliklerde kökler arası (katsayı pozitif ise) negatif bölgedir.
3
A \ B fark kümesini hesapla (A'da olan ama B'de olmayanlar).
Sayı doğrusunda [−2,6][-2, 6] aralığından (−2,4)(-2, 4) açık aralığı çıkarılır.
1. −2-2 elemanı AA'da vardır, BB'de yoktur (B açık aralık). O halde −2-2 fark kümesine dahildir.
2. (−2,4)(-2, 4) aralığı hem AA'da hem BB'de vardır, atılır.
3. 44 elemanı AA'da vardır, BB'de yoktur (B açık aralık). O halde 44 fark kümesine dahildir.
4. (4,6](4, 6] aralığı AA'da vardır, BB'de yoktur. Dahildir.
Fark işlemi tanımı: x∈Ax \in A ve x∉Bx \notin B. Sınır noktalarına dikkat edilmelidir.

Key Concept

Gerçel sayı aralıklarında fark işlemi yapılırken, çıkarılan kümenin sınır noktalarının dahil olup olmadığına (açık/kapalı parantez) dikkat edilmelidir. Açık aralık çıkarıldığında, sınır noktası fark kümesinde kalır.

Hints

1
Önce verilen eşitsizlikleri çözerek A ve B kümelerini aralık notasyonu ile (köşeli veya normal parantez kullanarak) yazınız.
2
A kümesi [-2, 6] kapalı aralığı, B kümesi ise (-2, 4) açık aralığıdır. Sayı doğrusu çizerek A kümesini boyayın, ardından B kümesinin kapladığı yeri silin.
3
B kümesi (-2, 4) açık aralığıdır, yani -2 ve 4 sayılarını İÇERMEZ. Bir kümeden B'yi çıkardığınızda, B'de olmayan bu sınır noktaları (eğer ana kümede varsa) geriye kalan parçada durmalıdır.

Practice More

Benzer bir soruyu tam sayı kısıtlaması altında çözün: A∩ZA \cap \mathbb{Z} ve B∩ZB \cap \mathbb{Z} kümelerinin farkının eleman sayısı kaçtır?

Alternative Method

Sayı doğrusu çizmek yerine kümeleri özelliklerine göre yazın: A kümesi -2 ile 6 arasındaki (dahil) sayılar. B kümesi -2 ile 4 arasındaki (hariç) sayılar. Fark kümesi için A'nın şartını sağlayan (-2 <= x <= 6) ama B'nin şartını sağlamayan (x <= -2 veya x >= 4) sayıları arayın. Kesişim: x = -2 veya 4 <= x <= 6.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

More questions from this topic