Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar

a,ba, b ve cc birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,

a3−b3=c a^3 - b^3 = c


eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?
  1. A
    20
  2. B
    22
  3. 24Answer
  4. D
    28
  5. E
    34

Answer

Toplamın sonucu 24'tür.
Verilen küp farkı ifadesi (a−b)(a2+ab+b2)=c(a-b)(a^2+ab+b^2)=c şeklinde açıldığında, cc asal olduğu için çarpanlardan küçüğü olan (a−b)(a-b) mutlaka 1'e eşit olmalıdır. Aralarındaki fark 1 olan yegane asal sayılar 3 ve 2'dir (a=3,b=2a=3, b=2). Bu değerler yerine konulduğunda c=19c=19 bulunur. Toplamları 3+2+19=243+2+19=24 eder.

Step-by-Step Solution

1
Verilen a3−b3=ca^3 - b^3 = c ifadesini iki küp farkı özdeşliğinden yararlanarak çarpanlarına ayırırız.
(a−b)⋅(a2+a⋅b+b2)=c(a - b) \cdot (a^2 + a \cdot b + b^2) = c
Asal sayı olan cc'nin çarpanlarını görebilmek için ifadeyi çarpım durumuna getirmek gerekir.
2
cc bir asal sayı olduğundan, çarpanlarından biri mutlaka 1, diğeri ise kendisi olmalıdır. İki parantezden hangisinin 1 olacağını belirleriz.
aa ve bb asal sayı olduklarından (en az 2), ikinci çarpan a2+ab+b2a^2 + ab + b^2 kesinlikle 1'den büyüktür. Bu durumda zorunlu olarak a−b=1a - b = 1 olmalıdır.
Asal sayıların çarpanları sadece 1 ve kendisidir.
3
Aralarındaki fark 1 olan asal sayıları tespit ederiz.
Aralarındaki fark 1 olan tek asal sayı çifti 3 ve 2'dir. Dolayısıyla a=3a = 3 ve b=2b = 2 olur.
2 dışındaki tüm asal sayılar tektir. İki tek sayının farkı çift (en az 2) olacağından, farkın 1 olabilmesi için sayılardan biri çift asal sayı olan 2 olmalıdır.
4
aa ve bb değerlerini yerine koyarak cc sayısını bulur ve asal olup olmadığını kontrol ederiz.
c=33−23=27−8=19c = 3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19. 19 bir asal sayıdır, şart sağlanır.
Denklemdeki eşitliğin doğruluğunu ve cc'nin asal olma şartını teyit etmek.
5
Bulunan a,b,ca, b, c değerlerini toplarız.
a+b+c=3+2+19=24a + b + c = 3 + 2 + 19 = 24.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak.

Key Concept

Asal sayıların çarpan özellikleri ve iki küp farkı özdeşliği.

Hints

1
a3−b3a^3 - b^3 ifadesini çarpanlarına ayırmayı dene: (a−b)(a2+ab+b2)(a-b)(a^2+ab+b^2).
2
Eşitliğin sağ tarafındaki cc sayısı bir asal sayıdır. Bir asal sayının pozitif tam sayı çarpanları neler olabilir? Bu çarpanlardan biri ifadedeki (a−b)(a-b) olabilir mi?
3
(a−b)(a-b) ifadesi 1 olmak zorundadır. Aralarındaki fark 1 olan asal sayılar hangileridir?

Practice More

İki kare farkı içeren ve sonucun asal sayı olduğu benzer sorular çözülebilir (a2−b2=pa^2 - b^2 = p).
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic