Examkin

Question

Difficulty: MediumAlt Küme

A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} kümesi veriliyor. Bir kümenin her elemanı diğer bir kümenin de elemanı ise bu kümeye alt küme denir ve ⊆\subseteq sembolü ile gösterilir.

Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde en az bir asal sayı bulunur?

  1. A
    4
  2. B
    8
  3. 12Answer
  4. D
    16

Answer

Kümenin alt kümelerinden 12 tanesinde en az bir asal sayı bulunur.
Verilen A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} kümesinin toplam 24=162^4 = 16 tane alt kümesi vardır. Bu kümelerden içinde hiç asal sayı ({2,3}\{2, 3\}) bulunmayanlar, sadece asal olmayan {1,4}\{1, 4\} elemanlarından oluşan alt kümelerdir. Bunların sayısı 22=42^2 = 4'tür. Toplam alt küme sayısından bu 4 küme çıkarıldığında (boş küme dahil), geriye kalan 12 alt kümenin her birinde mutlaka en az bir tane asal sayı (2 veya 3) bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kümenin eleman sayısını belirlemek.
s(A)=4s(A) = 4
Alt küme sayısını hesaplamak için toplam eleman sayısına ihtiyaç vardır.
2
Toplam alt küme sayısını hesaplamak.
24=162^4 = 16
nn elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.
3
Kümedeki asal olan ve olmayan elemanları belirlemek.
Asal olanlar: {2,3}\{2, 3\}, Asal olmayanlar: {1,4}\{1, 4\}
"En az bir" sorularında tüm durumlardan istenmeyen durumları (asal olmayanları) çıkarmak en kısa yoldur.
4
İçinde hiç asal sayı bulunmayan alt küme sayısını bulmak.
s({1,4})=2s(\{1, 4\}) = 2 olduğu için 22=42^2 = 4
Sadece asal olmayan elemanlardan oluşan alt kümeler, içinde asal sayı barındırmaz.
5
Tüm alt kümelerden istenmeyenleri çıkarmak.
16−4=1216 - 4 = 12
Tüm durumlar - Hiç asal içermeyenler = En az bir asal içerenler.

Key Concept

Alt küme kavramı ve 'en az bir' içeren durumların tüm durumlardan çıkarma yoluyla bulunması.

Hints

1
Bir kümenin alt küme sayısını 2n2^n formülü ile hesaplayabileceğini hatırla.
2
Kümedeki asal sayıları (2 ve 3) ve asal olmayan sayıları (1 ve 4) gruplandır.
3
'En az bir' ifadesi geçen sorularda; tüm alt kümelerin sayısından, içinde hiç asal sayı olmayanların sayısını çıkarmak seni doğrudan sonuca götürür.

Practice More

Benzer bir mantıkla, elemanları harflerden oluşan bir kümede 'en az bir sesli harf bulunan' alt küme sayısını hesaplamayı deneyebilirsin.

Alternative Method

İçinde sadece bir asal olan alt kümeleri ({2}\{2\} içerenler ve {3}\{3\} içerenler) ve her iki asalı da içerenleri ({2,3}\{2, 3\} içerenler) ayrı ayrı hesaplayıp toplayabilirsin. Ancak 'tüm durumlar - istenmeyen durum' yöntemi çok daha pratiktir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Alt Küme

More questions from this topic