Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar

aa, bb ve cc asal sayılardır.

a⋅b+a⋅c=3a+70a \cdot b + a \cdot c = 3a + 70

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    20
  2. B
    22
  3. C
    38
  4. 40Answer
  5. E
    74

Answer

a + b + c toplamının alabileceği en büyük değer 40'tır.
Verilen eşitlik a(b+c−3)=70a(b+c-3) = 70 şeklinde düzenlenir. aa asal sayı olduğu için 70'in asal çarpanları olan 2, 5 veya 7 değerlerini alabilir. Her durum incelendiğinde, a=2a=2 için b+c=38b+c=38 bulunur ve toplamın 2+38=402+38=40 olduğu görülür. Bu, elde edilebilecek en büyük değerdir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği düzenleyip ortak çarpan parantezine alma işlemi uygulanır.
a(b+c)−3a=70⇒a(b+c−3)=70a(b + c) - 3a = 70 \Rightarrow a(b + c - 3) = 70
Bilinmeyenleri çarpanlara ayırma yöntemiyle analiz edilebilir hale getirmek için.
2
aa sayısının asal olduğu ve 70'in çarpanı olması gerektiği bilgisini kullanarak olası aa değerleri belirlenir.
70=2⋅5⋅770 = 2 \cdot 5 \cdot 7 olduğundan aa sayısı 2, 5 veya 7 olabilir.
Asal çarpan analizi yapmak için.
3
Her bir aa değeri için b+cb+c toplamını bulup, bb ve cc'nin asal olup olamayacağı kontrol edilir.
Durum 1 (a=7a=7): b+c−3=10⇒b+c=13b+c-3=10 \Rightarrow b+c=13. (2+11 asaldır). Toplam: 7+13=207+13=20.
Durum 2 (a=5a=5): b+c−3=14⇒b+c=17b+c-3=14 \Rightarrow b+c=17. (Toplam tek ise biri 2 olmalı: 2+152+15. 15 asal değil). Çözüm yok.
Durum 3 (a=2a=2): b+c−3=35⇒b+c=38b+c-3=35 \Rightarrow b+c=38. (7+31 asaldır). Toplam: 2+38=402+38=40.
Geçerli asal sayı ikililerini tespit etmek ve toplamları hesaplamak için.
4
Bulunan geçerli toplamlar karşılaştırılarak en büyük değer seçilir.
Bulunan değerler 20 ve 40'tır. En büyük değer 40'tır.
Soruda istenen maksimum değeri belirlemek için.

Key Concept

Asal çarpanlar ve asal sayıların toplam/çarpım özellikleri

Hints

1
İfadeyi aa parantezine alarak çarpım durumuna getirin: a(b+c)−3a=70a(b+c) - 3a = 70.
2
a(b+c−3)=70a(b+c-3) = 70 eşitliğinde aa bir asal sayı olduğu için 70'in asal çarpanlarını (2, 5, 7) deneyerek durumları inceleyin.
3
İki asal sayının toplamı (b+cb+c) tek sayı çıkıyorsa (örneğin 17 veya 13), bu sayılardan biri mutlaka 2 olmalıdır. Bu kuralı kullanarak hangi durumların çözüm kümesi oluşturduğunu kontrol edin.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic