Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bir kamu kurumunun arşivinde bulunan dosyalar, xx gibi bir tam sayıdan başlanarak ardışık pozitif tam sayılarla numaralandırılmıştır. Bu dosyalardan numarası en küçük olan 12 tanesinin numaraları toplamı AA, numarası en büyük olan 12 tanesinin numaraları toplamı BB’dir.

B−A=312B - A = 312 olduğuna göre, bu arşivde toplam kaç adet dosya bulunmaktadır?

  1. A
    26
  2. B
    32
  3. 38Answer
  4. D
    39
  5. E
    50

Answer

Arşivde toplam 38 adet dosya bulunmaktadır.
Doğru cevap 38'dir çünkü en büyük 12 sayının her biri, en küçük 12 sayının karşılık gelen elemanından tam olarak 'toplam sayı eksi 12' (n−12n-12) kadar büyüktür. 12 tane terim olduğu için toplam fark 12(n−12)12(n-12) olur. Bu da 312'ye eşitlendiğinde n=38n=38 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri tanımla ve grupları oluştur.
Dosya numaraları: x,x+1,...,x+n−1x, x+1, ..., x+n-1 olsun (Toplam nn dosya). En küçük 12 sayı: x,...,x+11x, ..., x+11. En büyük 12 sayı: x+n−12,...,x+n−1x+n-12, ..., x+n-1.
Soruda verilen 'en küçük' ve 'en büyük' grupların matematiksel ifadesini yazmak için.
2
Toplamlar arasındaki farkı terim terim eşleştirerek yaz.
Her bir terim çifti arasındaki fark: (x+n−12)−x=n−12(x+n-12) - x = n-12, (x+n−11)−(x+1)=n−12(x+n-11) - (x+1) = n-12, ... şeklinde devam eder. Toplam 12 terim olduğu için fark 12×(n−12)12 \times (n-12) olur.
Uzun uzun toplama yapmak yerine, karşılıklı terimlerin farkından giderek denklemi basitleştirmek için.
3
Verilen fark değerini kullanarak denklemi çöz.
12(n−12)=312⇒n−12=26⇒n=3812(n - 12) = 312 \Rightarrow n - 12 = 26 \Rightarrow n = 38.
Bilinmeyen dosya sayısını (nn) bulmak için.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde alt grupların toplamları arasındaki fark, terim sayısı ve kaydırma miktarı ile ilişkilidir.

Hints

1
En küçük 12 sayıyı x,x+1,...,x+11x, x+1, ..., x+11 olarak; en büyük 12 sayıyı ise toplam dosya sayısı nn olmak üzere x+n−12x+n-12 ile başlayan seri olarak yazmayı deneyin.
2
Toplam formülünü uzun uzun yazmak yerine, en büyük gruptaki 1. sayı ile en küçük gruptaki 1. sayı arasındaki farkı bulun. Bu fark diğer terimler için de aynı mıdır?
3
Her bir terim çifti arasındaki fark (n−12)(n-12)'dir. Toplam 12 terim olduğuna göre, 12⋅(n−12)=31212 \cdot (n-12) = 312 denklemini çözün.

Practice More

Ardışık çift veya tek sayıların olduğu benzer bir senaryoda farkın nasıl değişeceğini inceleyen bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Toplam formülü ile çözüm: Küçüklerin toplamı 12x+6612x + 66, büyüklerin toplamı 12(x+n−12)+6612(x+n-12) + 66. Taraf tarafa çıkarınca xx'ler gider, sadece nn'ye bağlı denklem kalır.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

More questions from this topic