Examkin

Question

Difficulty: HardKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB için aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:

s(A∖B)2=s(B∖A)3=s(A∩B)4 \frac{s(A \setminus B)}{2} = \frac{s(B \setminus A)}{3} = \frac{s(A \cap B)}{4}
s(A′)=26 s(A') = 26
s(B′)=22 s(B') = 22

Buna göre, evrensel kümenin eleman sayısı (s(E)s(E)) kaçtır?

  1. A
    36
  2. B
    42
  3. C
    48
  4. 50Answer
  5. E
    54

Answer

Evrensel kümenin eleman sayısı 50'dir.
Soruda verilen oranlar kullanılarak küme bölgeleri 2k,3k,4k2k, 3k, 4k olarak belirlenir. A′A' ve B′B' verileri kullanılarak hem orantı sabiti (k=4k=4) hem de küme dışındaki eleman sayısı (t=14t=14) bulunur. Tüm bölgelerin toplamı olan s(E)=9k+ts(E) = 9k + t işlemi sonucunda 50 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Orantı sabitini kullanarak küme bölgelerini kk cinsinden ifade etme
s(A∖B)=2ks(A \setminus B) = 2k, s(B∖A)=3ks(B \setminus A) = 3k, s(A∩B)=4ks(A \cap B) = 4k
Verilen oranlar tek bir değişken üzerinden ifade edilerek işlem kolaylığı sağlanır.
2
Evrensel kümenin dışındaki bölgeyi tanımlama ve tümleyen denklemlerini kurma
Dış bölgeye tt dersek; s(A′)=s(B∖A)+t=3k+t=26s(A') = s(B \setminus A) + t = 3k + t = 26 ve s(B′)=s(A∖B)+t=2k+t=22s(B') = s(A \setminus B) + t = 2k + t = 22.
Bir kümenin tümleyeni (A′A'), o kümenin dışındaki tüm elemanları (hem sadece B'deki hem de hiçbirindeki) kapsar.
3
Denklem sistemini çözerek kk ve tt değerlerini bulma
Taraf tarafa çıkarma ile: (3k+t)−(2k+t)=26−22⇒k=4(3k+t) - (2k+t) = 26 - 22 \Rightarrow k=4. Yerine koyma ile: 2(4)+t=22⇒8+t=22⇒t=142(4) + t = 22 \Rightarrow 8 + t = 22 \Rightarrow t = 14.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için yok etme metodu kullanılır.
4
Evrensel kümenin toplam eleman sayısını hesaplama
s(E)=s(A∖B)+s(A∩B)+s(B∖A)+t=2k+4k+3k+t=9k+t=9(4)+14=36+14=50s(E) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) + s(B \setminus A) + t = 2k + 4k + 3k + t = 9k + t = 9(4) + 14 = 36 + 14 = 50.
Evrensel küme, tüm ayrık bölgelerin toplamına eşittir.

Key Concept

Kümelerde Tümleme ve Denklem Sistemleri

Hints

1
Orantılı ifadeler için ortak bir kk çarpanı belirleyerek başlayın (örneğin s(A∖B)=2ks(A \setminus B) = 2k).
2
Bir kümenin tümleyeni (A′A'), evrensel kümede olup o kümede olmayan elemanlardır. Bu, hem diğer kümenin sadece kendine ait kısmını (B∖AB \setminus A) hem de her iki kümenin dışındaki bölgeyi kapsar.
3
Her iki kümenin de dışında kalan bölgeye tt diyerek, verilen s(A′)s(A') ve s(B′)s(B') eşitliklerinden iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurun: 3k+t=263k + t = 26 ve 2k+t=222k + t = 22.

Practice More

De Morgan kurallarını içeren ve kesişim kümesinin boş olduğu ayrık kümelerle ilgili sorular çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

More questions from this topic