Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Benzerlik

ABC bir üçgendir. ABAB kenarı üzerinde bir DD noktası ve ACAC kenarı üzerinde bir EE noktası alınarak [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olacak şekilde bir doğru parçası çiziliyor. Daha sonra BCBC kenarı üzerinde bir FF noktası belirlenip [EF]∥[AB][EF] \parallel [AB] olacak şekilde birleştiriliyor.

Oluşan ADEADE üçgeninin alanı 16 cm216 \text{ cm}^2 ve EFCEFC üçgeninin alanı 49 cm249 \text{ cm}^2 olduğuna göre, ABCABC üçgeninin tamamının alanı kaç  cm2\text{ cm}^2'dir?

  1. A
    65
  2. B
    97
  3. C
    100
  4. 121Answer
  5. E
    144

Answer

121
Verilen paralellikler sayesinde ADEADE ve EFCEFC üçgenleri ile büyük ABCABC üçgeni birbirine benzerdir. Benzerlik oranı alanların karekökü ile orantılıdır. ADEADE üçgeninin benzerlik kenarı 16=4\sqrt{16}=4 birim, EFCEFC üçgeninin benzerlik kenarı 49=7\sqrt{49}=7 birim gibi düşünülebilir. Paralelkenar yapısından dolayı büyük üçgenin tabanı bu iki parçanın toplamı olan 4+7=114+7=11 birim ile orantılıdır. Büyük üçgenin alanı ise bu toplam oranın karesi ile ilişkilidir: 112=121 cm211^2 = 121 \text{ cm}^2.

Step-by-Step Solution

1
Verilen paralellikleri kullanarak benzer üçgenleri belirle.
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] ve [EF]∥[AB][EF] \parallel [AB] olduğu için △ADE∼△EFC\triangle ADE \sim \triangle EFC benzerliği vardır. Ayrıca bu iki üçgen büyük △ABC\triangle ABC üçgenine de benzerdir.
Kenarları birbirine paralel olan üçgenler benzerdir (Açı-Açı-Açı benzerliği).
2
Alanlar oranından benzerlik oranını bul.
Alan(ADE)Alan(EFC)=1649\frac{\text{Alan}(ADE)}{\text{Alan}(EFC)} = \frac{16}{49} olduğundan, benzerlik oranı k=1649=47k = \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7}'dir.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k2=Alan Oranık^2 = \text{Alan Oranı}).
3
Kenar uzunluklarını oransal olarak ifade et ve tabanları topla.
△ADE\triangle ADE'nin tabanına 4k4k, △EFC\triangle EFC'nin tabanına 7k7k diyelim. BDEFBDEF bir paralelkenar olduğu için ∣BF∣=∣DE∣=4k|BF| = |DE| = 4k olur. Büyük üçgenin tabanı ∣BC∣=4k+7k=11k|BC| = 4k + 7k = 11k olur.
Paralelkenarda karşılıklı kenar uzunlukları eşittir (∣DE∣=∣BF∣|DE| = |BF|).
4
Küçük üçgen ile büyük üçgen arasındaki benzerlik oranını kullanarak toplam alanı bul.
△ADE\triangle ADE ile △ABC\triangle ABC arasındaki benzerlik oranı ∣DE∣∣BC∣=4k11k=411\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{4k}{11k} = \frac{4}{11}'dir. Alanlar oranı (411)2=16121\left(\frac{4}{11}\right)^2 = \frac{16}{121} olur. 16/Alan(ABC)=16/121  ⟹  Alan(ABC)=121 cm216 / \text{Alan}(ABC) = 16 / 121 \implies \text{Alan}(ABC) = 121 \text{ cm}^2.
Benzerlik oranının karesi alanlar oranını verir.

Key Concept

Benzer üçgenlerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (S1/S2=k2S_1/S_2 = k^2). Ayrıca bu özel yapıda STu¨m=S1+S2\sqrt{S_{Tüm}} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} kuralı geçerlidir.

Hints

1
Şekilde ADEADE ve EFCEFC üçgenlerinin ABCABC üçgenine benzer olduğunu hatırlayınız. Benzerlik oranı ile alan oranı arasındaki ilişkiyi kullanın.
2
Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir (k2k^2). 16=4\sqrt{16}=4 ve 49=7\sqrt{49}=7 değerlerini kenar uzunlukları ile ilişkilendirmeyi deneyin.
3
BDEFBDEF şeklinin bir paralelkenar olduğuna dikkat edin. Bu sayede DEDE kenar uzunluğunu BFBF kenarına taşıyabilir ve büyük üçgenin tabanının oransal değerini bulabilirsiniz.

Practice More

Benzerlik oranı 1/3 olan iki üçgenin alanları oranını ve çevreleri oranını karşılaştıran bir soru çözünüz.

Alternative Method

Pratik Kural: Bu tip iç içe geçmiş paralel üçgen sorularında, büyük üçgenin alanının karekökü, küçük üçgenlerin alanlarının karekökleri toplamına eşittir: SABC=SADE+SEFC=4+7=11  ⟹  SABC=121\sqrt{S_{ABC}} = \sqrt{S_{ADE}} + \sqrt{S_{EFC}} = 4 + 7 = 11 \implies S_{ABC} = 121.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Benzerlik

More questions from this topic