Examkin

Question

Difficulty: MediumÜçgende Alan

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC], ∣AB∣=12|AB| = 12 cm ve ∣BC∣=10|BC| = 10 cm'dir. Bu üçgenin [BC][BC] kenarı üzerinde ∣BD∣=2|BD| = 2 cm olacak şekilde bir DD noktası ve [AC][AC] hipotenüsü üzerinde bu kenarın orta noktası olan bir EE noktası işaretleniyor. Buna göre, ADEADE üçgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A
    12
  2. B
    15
  3. 24Answer
  4. D
    30
  5. E
    48

Answer

İstenen ADEADE üçgeninin alanı 24 cm2\text{cm}^2 olarak bulunur.
Doğru yanıt olan 24, öncelikle dik üçgenin toplam alanının (60) hesaplanması, ardından DD noktasının ayırdığı ADCADC üçgeninin alanının (48) bulunması ve son olarak EE orta noktasının bu alanı ikiye bölmesiyle elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC dik üçgeninin toplam alanını hesapla.
Alan(ABC)=∣AB∣×∣BC∣2=12×102=60 cm2Alan(ABC) = \frac{|AB| \times |BC|}{2} = \frac{12 \times 10}{2} = 60 \text{ cm}^2
Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısına eşittir.
2
ADCADC üçgeninin alanını taban oranları yardımıyla bul.
∣BC∣=10|BC| = 10 cm ve ∣BD∣=2|BD| = 2 cm ise ∣DC∣=8|DC| = 8 cm olur. Alan(ADC)=810×60=48 cm2Alan(ADC) = \frac{8}{10} \times 60 = 48 \text{ cm}^2
Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları oranı, tabanları oranına eşittir.
3
EE noktası orta nokta olduğu için ADEADE üçgeninin alanına geçiş yap.
Alan(ADE)=12×Alan(ADC)=482=24 cm2Alan(ADE) = \frac{1}{2} \times Alan(ADC) = \frac{48}{2} = 24 \text{ cm}^2
Bir üçgende kenarortay (burada DEDE), üçgeni alanları eşit iki parçaya böler.

Key Concept

Üçgende alanın tabanlara göre paylaştırılması ve kenarortayın alanı iki eş parçaya bölmesi.

Hints

1
Önce büyük dik üçgenin alanını hesaplayarak işe başlayın.
2
DD noktasının BCBC kenarını hangi oranlarda böldüğüne ve bunun alanı nasıl etkilediğine bakın.
3
ADCADC üçgeninde DEDE doğrusu bir kenarortaydır; kenarortayın alan üzerindeki etkisini hatırlayın.

Practice More

Benzer bir soruyu, DD noktasını dışarıda alarak (geniş açılı üçgen durumu) çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Koordinat sistemi kullanarak çözebilirsiniz: B(0,0)B(0,0), A(0,12)A(0,12), C(10,0)C(10,0) noktalarını yerleştirin. D(2,0)D(2,0) ve E(5,6)E(5,6) (orta nokta) koordinatlarını bulun. Üç noktanın koordinatları biliniyorsa alan formülünü (determinant yöntemi) uygulayarak 24 sonucuna ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Alan

More questions from this topic