Mutlak Değer
43 questions
Question 41Question →
x bir gerçel sayı olmak üzere,
∣x2−9∣+∣x2−4x+3∣=2∣x−3∣
eşitliğini sağlayan x değerlerinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
∣x2−9∣+∣x2−4x+3∣=2∣x−3∣
eşitliğini sağlayan x değerlerinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\{3\}
\{\}
\{-3, 3\}
[1, 3]
\{1, 3\}
Show answer & explanation
Answer: \{3\}
Answer
Denklemin çözüm kümesi sadece {3} elemanından oluşur.
Verilen denklemde her terimde ortak olan ∣x−3∣ çarpanı paranteze alındığında, denklem ∣x−3∣(∣x+3∣+∣x−1∣−2)=0 haline gelir. Buradan birinci kök x=3 bulunur. İkinci kısım olan ∣x+3∣+∣x−1∣=2 denklemi ise, sayı doğrusunda −3 ve 1 noktalarına olan uzaklıklar toplamının 2 olmasını ister. Ancak bu iki nokta arasındaki mesafe 4 birim olduğundan, uzaklıklar toplamı en az 4 olabilir. Bu nedenle ikinci kısımdan kök gelmez. Tek çözüm x=3 tür.
Step-by-Step Solution
1
Mutlak değer içindeki ifadeleri çarpanlarına ayır.
∣(x−3)(x+3)∣+∣(x−3)(x−1)∣=2∣x−3∣
Ortak çarpanı görmek için ifadeleri düzenlemek gerekir.
2
Mutlak değerin çarpım kuralını kullanarak ∣x−3∣ ifadesini ortak çarpan parantezine al.
∣x−3∣⋅[∣x+3∣+∣x−1∣−2]=0
∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣ özelliği kullanılır ve denklem sıfıra eşitlenir.
3
Birinci çarpanı sıfıra eşitleyerek ilk kökü bul.
∣x−3∣=0⟹x=3
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az biri sıfır olmalıdır.
4
İkinci çarpanın sıfır olma durumunu (∣x+3∣+∣x−1∣=2) incele.
Çözüm yok (Boş küme).
∣x+3∣+∣x−1∣ ifadesi, sayı doğrusunda x noktasının −3 ve 1 noktalarına olan uzaklıkları toplamıdır. Bu iki nokta arası mesafe 1−(−3)=4 birimdir. Uzaklıklar toplamı en az 4 olabilir, asla 2 olamaz.
5
Bulunan geçerli kökleri birleştir.
Çözüm Kümesi = {3}
Sadece birinci durumdan kök gelmektedir.
Key Concept
Mutlak değerin uzaklık yorumu ve çarpanlara ayırma.
Hints
1
Denklemdeki mutlak değer içlerini çarpanlarına ayırarak ortak bir terim olup olmadığını kontrol ediniz.
2
∣x−3∣ ifadesi her terimde ortaktır. Bu ifadeyi paranteze alarak denklemi iki çarpanın çarpımı şeklinde yazınız.
3
Çarpanlardan biri ∣x+3∣+∣x−1∣=2 olur. Sayı doğrusunda −3 ve 1 noktaları arasındaki mesafe 4 birimdir. Uzaklıklar toplamı 4'ten küçük olabilir mi?
Practice More
Uzaklıklar toplamının minimum değerini soran bir problem çözerek bu kavramı pekiştirin.
Alternative Method
x değerini kritik noktalara (-3, 1, 3) göre bölgelere ayırarak (Tablo Yöntemi) çözebilirsiniz, ancak bu yöntem çok daha uzun sürecektir.
Estimated Time:3m 0s
Question 42Question →
x<y<0 olmak üzere,
∣y∣∣x+y∣−∣x−y∣
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
-2
2
0
y2x
−y2x
Show answer & explanation
Answer: 2
Answer
İşlemler sonucunda ifade 2 olarak bulunur.
Verilen x<y<0 eşitsizliğine göre mutlak değer içlerinin işaretleri belirlenir. x+y negatiftir, dışarı −x−y olarak çıkar. x−y negatiftir (küçükten büyük çıktığı için), dışarı −x+y olarak çıkar. y negatiftir, dışarı −y olarak çıkar. Bu değerler yerine konulup işlem yapıldığında sonuç 2 bulunur.
Step-by-Step Solution
1
Mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini belirle.
x<0 ve y<0 olduğu için x+y<0. x<y olduğu için x−y<0. y<0.
Mutlak değerden çıkarma işlemi yapabilmek için içerideki ifadenin pozitif mi negatif mi olduğunu bilmemiz gerekir.
2
İfadeleri mutlak değer dışına çıkar.
∣x+y∣=−(x+y)=−x−y
∣x−y∣=−(x−y)=−x+y
∣y∣=−y
∣x−y∣=−(x−y)=−x+y
∣y∣=−y
Negatif ifadeler mutlak değer dışına çıkarken önüne eksi (-) işareti alır.
3
Elde edilen ifadeleri kesirde yerine koy ve işlemi düzenle.
−y(−x−y)−(−x+y)=−y−x−y+x−y=−y−2y
Parantezleri açarken aradaki eksi işaretini dağıtmayı unutmamak gerekir.
4
Sadeleştirme işlemini yap.
−y−2y=2
Pay ve paydadaki aynı terimler sadeleşir.
Key Concept
Mutlak değerin tanımı gereği, ∣a∣=−a (eğer a<0) kuralının doğru uygulanması.
Estimated Time:1m 30s
Question 43Question →
x<y<0 olmak üzere,
x2−∣x−y∣+∣2y∣
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x2−∣x−y∣+∣2y∣
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
-3y
2x - 3y
-2x - y
y
-y
Show answer & explanation
Answer: -3y
Answer
İfadenin sadeleşmiş biçimi -3y şeklindedir.
Verilen x<y<0 koşuluna göre x2 ifadesi −x, ∣x−y∣ ifadesi y−x ve ∣2y∣ ifadesi −2y olarak dışarı çıkar. Bu değerler toplandığında −x−(y−x)−2y işlemi yapılarak −3y sonucuna ulaşılır.
Step-by-Step Solution
1
Kareköklü ifadenin mutlak değer özelliğini uygulama
x2=∣x∣ ve x<0 olduğu için −x
Bir sayının karesinin karekökü o sayının mutlak değerine eşittir.
2
Birinci mutlak değerli ifadenin işaretini belirleme
x<y⇒x−y<0 olduğu için ∣x−y∣=−(x−y)=y−x
Mutlak değerin içi negatifse ifade işaret değiştirerek dışarı çıkar.
3
İkinci mutlak değerli ifadenin işaretini belirleme
y<0⇒2y<0 olduğu için ∣2y∣=−2y
Negatif bir sayının mutlak değeri kendisinin eksi ile çarpılmış halidir.
4
Bulunan değerleri ana ifadede yerine yazma ve sadeleştirme
−x−(y−x)+(−2y)=−x−y+x−2y=−3y
Toplama ve çıkarma işlemleri yapılarak ifade en sade haline getirilir.
Key Concept
Mutlak değer içerisindeki ifadenin işaretine göre dışarı çıkarılması ve kareköklü ifadelerin mutlak değer ile ilişkisi.
Hints
1
Karekök içindeki çift dereceli üslerin mutlak değer olarak çıktığını unutmayın.
2
Mutlak değerin içindeki ifadenin işaretini belirlemek için verilen eşitsizliği kullanın.
3
x<y ise x−y ifadesi negatiftir; bu yüzden dışarı çıkarken işaret değiştirir.
Practice More
Mutlak değerli eşitsizlikler ve aralık belirleme sorularını çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.
Alternative Method
Koşula uygun değerler vererek (örneğin x = -2, y = -1) sonucu hesaplayıp seçeneklerdeki ifadelerle karşılaştırabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
PreviousPage 3 / 3