Examkin

Question

Difficulty: HardMutlak Değer
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
∣x2−9∣+∣x2−4x+3∣=2∣x−3∣ |x^2 - 9| + |x^2 - 4x + 3| = 2|x - 3|
eşitliğini sağlayan xx değerlerinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. \{3\}Answer
  2. B
    \{\}
  3. C
    \{-3, 3\}
  4. D
    [1, 3]
  5. E
    \{1, 3\}

Answer

Denklemin çözüm kümesi sadece {3}\{3\} elemanından oluşur.
Verilen denklemde her terimde ortak olan ∣x−3∣|x-3| çarpanı paranteze alındığında, denklem ∣x−3∣(∣x+3∣+∣x−1∣−2)=0|x-3|(|x+3| + |x-1| - 2) = 0 haline gelir. Buradan birinci kök x=3x=3 bulunur. İkinci kısım olan ∣x+3∣+∣x−1∣=2|x+3| + |x-1| = 2 denklemi ise, sayı doğrusunda −3-3 ve 11 noktalarına olan uzaklıklar toplamının 2 olmasını ister. Ancak bu iki nokta arasındaki mesafe 4 birim olduğundan, uzaklıklar toplamı en az 4 olabilir. Bu nedenle ikinci kısımdan kök gelmez. Tek çözüm x=3x=3 tür.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değer içindeki ifadeleri çarpanlarına ayır.
∣(x−3)(x+3)∣+∣(x−3)(x−1)∣=2∣x−3∣ |(x-3)(x+3)| + |(x-3)(x-1)| = 2|x-3|
Ortak çarpanı görmek için ifadeleri düzenlemek gerekir.
2
Mutlak değerin çarpım kuralını kullanarak ∣x−3∣|x-3| ifadesini ortak çarpan parantezine al.
∣x−3∣⋅[∣x+3∣+∣x−1∣−2]=0 |x-3| \cdot [ |x+3| + |x-1| - 2 ] = 0
∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣|a \cdot b| = |a| \cdot |b| özelliği kullanılır ve denklem sıfıra eşitlenir.
3
Birinci çarpanı sıfıra eşitleyerek ilk kökü bul.
∣x−3∣=0  ⟹  x=3|x-3| = 0 \implies x = 3
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az biri sıfır olmalıdır.
4
İkinci çarpanın sıfır olma durumunu (∣x+3∣+∣x−1∣=2|x+3| + |x-1| = 2) incele.
Çözüm yok (Boş küme).
∣x+3∣+∣x−1∣|x+3| + |x-1| ifadesi, sayı doğrusunda xx noktasının −3-3 ve 11 noktalarına olan uzaklıkları toplamıdır. Bu iki nokta arası mesafe 1−(−3)=41 - (-3) = 4 birimdir. Uzaklıklar toplamı en az 4 olabilir, asla 2 olamaz.
5
Bulunan geçerli kökleri birleştir.
Çözüm Kümesi = {3}\{3\}
Sadece birinci durumdan kök gelmektedir.

Key Concept

Mutlak değerin uzaklık yorumu ve çarpanlara ayırma.

Hints

1
Denklemdeki mutlak değer içlerini çarpanlarına ayırarak ortak bir terim olup olmadığını kontrol ediniz.
2
∣x−3∣|x-3| ifadesi her terimde ortaktır. Bu ifadeyi paranteze alarak denklemi iki çarpanın çarpımı şeklinde yazınız.
3
Çarpanlardan biri ∣x+3∣+∣x−1∣=2|x+3| + |x-1| = 2 olur. Sayı doğrusunda −3-3 ve 11 noktaları arasındaki mesafe 4 birimdir. Uzaklıklar toplamı 4'ten küçük olabilir mi?

Practice More

Uzaklıklar toplamının minimum değerini soran bir problem çözerek bu kavramı pekiştirin.

Alternative Method

x değerini kritik noktalara (-3, 1, 3) göre bölgelere ayırarak (Tablo Yöntemi) çözebilirsiniz, ancak bu yöntem çok daha uzun sürecektir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer

More questions from this topic