Examkin

Question

Difficulty: MediumWiener Süreci ve Kahverengi Hareket

Bir olasılık uzayında tanımlı {W(t),t≥0}\{W(t), t \geq 0\} standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) ve Ft\mathcal{F}_t, bu sürecin tt anına kadar olan geçmişini (bilgi kümesini) temsil eden süzgeçleme (filtrasyon) olsun.

Buna göre, aşağıda tanımlanan stokastik süreçlerden hangisi Ft\mathcal{F}_t'ye göre bir martingal değildir?

  1. A
    W(t)W(t)
  2. B
    W2(t)−tW^2(t) - t
  3. W2(t)W^2(t)Answer
  4. D
    eW(t)−t2e^{W(t) - \frac{t}{2}}
  5. E
    W3(t)−3tW(t)W^3(t) - 3tW(t)

Answer

W2(t)W^2(t) süreci bir martingal değildir; zamanla artma eğiliminde olan bir alt-martingaldir (submartingale).
Doğru seçenek W2(t)W^2(t) sürecidir. Martingal tanımına göre, t>st > s için E[X(t)∣Fs]=X(s)E[X(t) | \mathcal{F}_s] = X(s) olmalıdır. W2(t)W^2(t) süreci için bu değer hesaplandığında E[W2(t)∣Fs]=W2(s)+(t−s)E[W^2(t) | \mathcal{F}_s] = W^2(s) + (t-s) bulunur. t>st > s olduğundan bu değer geçmiş durum olan W2(s)W^2(s)'den kesinlikle büyüktür. Zamanla yukarı doğru sürüklenen bu süreç bir alt-martingaldir (submartingale) ve martingal şartını sağlamaz.

Step-by-Step Solution

1
Martingal olma koşulunu hatırlamak.
Bir X(t)X(t) sürecinin martingal olması için t>st > s olmak üzere E[X(t)∣Fs]=X(s)E[X(t) | \mathcal{F}_s] = X(s) şartını sağlaması gerekir.
Süreçlerin koşullu beklenen değerini inceleyerek mevcut duruma eşit olup olmadıklarını test etmek için.
2
W2(t)W^2(t) sürecinin koşullu beklenen değerini hesaplamak için ifadeyi bilinen geçmiş W(s)W(s) ve gelecek artış W(t)−W(s)W(t)-W(s) cinsinden yazmak.
E[W2(t)∣Fs]=E[(W(t)−W(s)+W(s))2∣Fs]E[W^2(t) | \mathcal{F}_s] = E[(W(t) - W(s) + W(s))^2 | \mathcal{F}_s]
Wiener sürecinin artışlarının (geleceğin) geçmişten bağımsız olma özelliğini kullanabilmek için.
3
Karesel ifadeyi açarak beklenen değeri dağıtmak.
E[(W(t)−W(s))2+2W(s)(W(t)−W(s))+W2(s)∣Fs]E[(W(t) - W(s))^2 + 2W(s)(W(t) - W(s)) + W^2(s) | \mathcal{F}_s]
Bağımsız artışların varyans ve ortalama özelliklerini uygulamak için.
4
Terimlerin beklenen değerlerini Wiener süreci özelliklerine (bağımsız artışlar, E[W(t)−W(s)]=0E[W(t)-W(s)]=0, Var(W(t)−W(s))=t−sVar(W(t)-W(s))=t-s) göre hesaplamak.
(t−s)+2W(s)⋅0+W2(s)=W2(s)+(t−s)(t-s) + 2W(s) \cdot 0 + W^2(s) = W^2(s) + (t-s)
Gelecekteki artışın karesinin beklenen değeri varyansa (t−st-s) eşittir ve W(s)W(s) bilindiği için sabit kabul edilir.
5
Bulunan sonucu martingal tanımıyla karşılaştırmak.
E[W2(t)∣Fs]=W2(s)+(t−s)E[W^2(t) | \mathcal{F}_s] = W^2(s) + (t-s). Burada t>st > s olduğundan t−s>0t-s > 0'dır ve sonuç W2(s)W^2(s)'den büyüktür.
Sürecin martingal mi (eşitlik), alt-martingal mi (büyüktür) yoksa üst-martingal mi (küçüktür) olduğunu belirlemek için.

Key Concept

Wiener Süreci ve Martingal Özellikleri
Rate this question

Topics

Wiener Süreci ve Kahverengi Hareket

More questions from this topic