\{W(t), t \geq 0\} standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) olmak üzere, X = 2W(1) … — KPSS İstatistik

$\{W(t), t \geq 0\}$ standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) olmak üzere,

X = 2W(1) - W(2) + W(4)

rastgele değişkeni tanımlanıyor.

Buna göre, $X$ değişkeninin varyansı, $Var(X)$ , aşağıdakilerden hangisidir?

A
$4$
$6$ Answer
C
$8$
D
$10$
E
$14$

Answer

İstenen varyans değeri

6

'dır.

Doğru değer

6

'dır. Soru iki farklı yöntemle çözülebilir. Birinci yöntem, süreci bağımsız artışlar cinsinden yazmaktır:

X

ifadesi

X = 2W(1) + (W(4)-W(2))

biçiminde sadeleşir.

W(1)

ile

(W(4)-W(2))

kesişmeyen zaman aralıklarında olduğu için bağımsızdır. Buradan

Var(X) = 4Var(W(1)) + Var(W(4)-W(2)) = 4(1) + 2 = 6

elde edilir. İkinci yöntem ise doğrudan kovaryans formülünü kullanmaktır:

Var(X) = 4Var(W(1)) + Var(W(2)) + Var(W(4)) - 4Cov(W(1),W(2)) + 4Cov(W(1),W(4)) - 2Cov(W(2),W(4))

. Değerler yerine konduğunda

4(1) + 2 + 4 - 4(1) + 4(1) - 2(2) = 10 - 4 = 6

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

X

değişkenini kesişmeyen zaman aralıklarındaki artışlar cinsinden ifade etme.

X = 2W(1) - [W(1) + (W(2)-W(1))] + [W(2) + (W(4)-W(2))]

Standart Wiener sürecinde, kesişmeyen zaman aralıklarındaki artışlar bağımsızdır. Değişkeni bu artışlar cinsinden yazmak, varyans hesabında kovaryans terimleriyle uğraşmayı ortadan kaldırır.

Elde edilen matematiksel ifadeyi sadeleştirme.

X = 2W(1) + (W(4)-W(2))

Toplama ve çıkarma işlemleri yapıldığında, ortadaki terimler birbirini götürür ve sadece iki bağımsız parça kalır.

Bağımsız bileşenlerin varyanslarını ayrı ayrı belirleme.

Var(W(1)) = 1

Var(W(4)-W(2)) = 4 - 2 = 2

Standart Wiener sürecinin temel özelliğine göre

Var(W(t)-W(s)) = t - s

'dir.

Bağımsız parçaların varyanslarını birleştirerek toplam varyansı hesaplama.

Var(X) = 2^2 \cdot Var(W(1)) + Var(W(4)-W(2)) = 4(1) + 2 = 6

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının toplamıdır ve

Var(aY) = a^2 Var(Y)

kuralı geçerlidir.

Key Concept

Wiener sürecinde bağımsız artışlar ve kovaryans yapısı

Alternative Method

Süreci kovaryans formülüyle açmak:

Var(\sum a_i W(t_i)) = \sum a_i^2 t_i + 2 \sum_{i<j} a_i a_j \min(t_i, t_j)

genel formülü kullanılarak tüm ikili eşleşmelerin kovaryansları toplanabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic