Examkin

Question

Difficulty: HardWiener Süreci ve Kahverengi Hareket

{W(t),t≥0}\{W(t), t \geq 0\} standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) olmak üzere,

Y(t)=e−tW(e2t)Y(t) = e^{-t} W(e^{2t})

dönüşümü ile yeni bir {Y(t),t≥0}\{Y(t), t \geq 0\} stokastik süreci tanımlanıyor.

Buna göre, 0<s<t0 < s < t olmak üzere, Y(s)Y(s) ile Y(t)Y(t) arasındaki kovaryans, yani Cov(Y(s),Y(t))Cov(Y(s), Y(t)) değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. e−(t−s)e^{-(t-s)}Answer
  2. B
    et−se^{t-s}
  3. C
    00
  4. D
    e−2te^{-2t}
  5. E
    e−(t+s)e^{-(t+s)}

Answer

e−(t−s)e^{-(t-s)} değeri kovaryansı doğru şekilde ifade etmektedir.
Verilen Y(t)=e−tW(e2t)Y(t) = e^{-t} W(e^{2t}) süreci aslında matematikte çok iyi bilinen Ornstein-Uhlenbeck sürecidir. Standart Wiener süreci için Cov(W(u),W(v))=min⁡(u,v)Cov(W(u), W(v)) = \min(u,v) kuralı geçerlidir. Verilen dönüşümde sabitler kovaryansın dışına çarpım olarak alındığında e−se−tCov(W(e2s),W(e2t))e^{-s} e^{-t} Cov(W(e^{2s}), W(e^{2t})) ifadesi elde edilir. Soru kökünde s<ts < t olduğu belirtildiği için e2s<e2te^{2s} < e^{2t} eşitsizliği kurulur ve minimum değer e2se^{2s} olarak belirlenir. Sonuç olarak katsayılar ile çarpıldığında e−s−t⋅e2s=es−t=e−(t−s)e^{-s-t} \cdot e^{2s} = e^{s-t} = e^{-(t-s)} değeri bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Cov(Y(s),Y(t))Cov(Y(s), Y(t)) ifadesini tanımlanan Y(t)Y(t) fonksiyonu üzerinden açıkça yazın.
Cov(e−sW(e2s),e−tW(e2t))Cov(e^{-s} W(e^{2s}), e^{-t} W(e^{2t}))
Kovaryansın hesaplanabilmesi için değişkenlerin temel Wiener süreci cinsinden ifade edilmesi gerekir.
2
Kovaryansın doğrusal özelliğini kullanarak deterministik (sabit) çarpanları dışarı alın.
e−se−tCov(W(e2s),W(e2t))e^{-s} e^{-t} Cov(W(e^{2s}), W(e^{2t}))
Cov(aX,bY)=ab⋅Cov(X,Y)Cov(aX, bY) = ab \cdot Cov(X, Y) kuralı gereği sabit fonksiyonlar dışarı çarpım olarak çıkar.
3
Standart Wiener süreci için geçerli olan kovaryans kuralını (Cov(W(u),W(v))=min⁡(u,v)Cov(W(u), W(v)) = \min(u, v)) uygulayın.
e−(s+t)min⁡(e2s,e2t)e^{-(s+t)} \min(e^{2s}, e^{2t})
Wiener sürecinde farklı zamanlardaki değerlerin kovaryansı, bu zamanlardan küçük olanına eşittir.
4
Verilen 0<s<t0 < s < t eşitsizliğini kullanarak minimum değeri belirleyin.
s<t  ⟹  2s<2t  ⟹  e2s<e2ts < t \implies 2s < 2t \implies e^{2s} < e^{2t} olduğundan, min⁡(e2s,e2t)=e2s\min(e^{2s}, e^{2t}) = e^{2s} elde edilir.
Üstel fonksiyon monoton artan bir fonksiyon olduğu için zaman sıralaması korunur.
5
Bulunan minimum değeri denkleme yerleştirip üslü ifadelerde sadeleştirme yapın.
e−s−t⋅e2s=e−s−t+2s=es−t=e−(t−s)e^{-s-t} \cdot e^{2s} = e^{-s - t + 2s} = e^{s - t} = e^{-(t-s)}
Nihai kovaryans fonksiyonunu en sade biçimine getirmek için tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılır.

Key Concept

Wiener Süreci Kovaryans Yapısı ve Dönüşümleri

Alternative Method

Oluşturulan Y(t)=e−tW(e2t)Y(t) = e^{-t} W(e^{2t}) süreci literatürde standart Ornstein-Uhlenbeck süreci olarak bilinir. Bu sürecin en temel özelliklerinden biri durağan (stationary) olmasıdır ve otokovaryans fonksiyonu yalnızca aradaki zaman farkına (τ=t−s\tau = t-s) bağlı olup R(τ)=e−∣τ∣R(\tau) = e^{-|\tau|} formülü ile verilir. Teorik bilgiyi doğrudan hatırlayarak işlem yapmadan doğru sonuca ulaşmak mümkündür.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Wiener Süreci ve Kahverengi Hareket

More questions from this topic