Examkin

Question

Difficulty: Very hardTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir rüzgâr enerjisi santralinde, türbin kanatlarında oluşan mikro çatlakların kritik boyuta ulaşma süresi (yıl cinsinden) XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Bir araştırmacı, bu sürenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun aşağıdaki gibi olduğunu belirlemiştir:

f(x;θ)=3x2θ3e−(x/θ)3,x>0f(x; \theta) = \frac{3x^2}{\theta^3} e^{-(x/\theta)^3}, \quad x > 0

Burada θ>0\theta > 0, malzemenin direncini ifade eden bilinmeyen bir parametredir.

Araştırmacı, nn adet türbinden bağımsız olarak elde edilen X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemini kullanarak θ\theta parametresi için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) yardımıyla bir yeterli istatistik elde etmek istemektedir.

Buna göre, θ\theta parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1θ3∑i=1nXi3\frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n X_i^3
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  3. ∑i=1nXi3\sum_{i=1}^n X_i^3Answer
  4. D
    ∏i=1nXi2\prod_{i=1}^n X_i^2
  5. E
    max⁡1≤i≤nXi\max_{1 \leq i \leq n} X_i

Answer

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre θ\theta parametresi için yeterli istatistik ∑i=1nXi3\sum_{i=1}^n X_i^3 fonksiyonudur.
Olabilirlik fonksiyonu (likelihood function) oluşturulup Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uygulandığında, örneklem ile bilinmeyen θ\theta parametresinin birlikte yer aldığı tek çarpan exp⁡(−1θ3∑i=1nxi3)\exp\left( -\frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n x_i^3 \right) kısmıdır. Bu ifadede örnekleme ait veriler sadece ∑i=1nXi3\sum_{i=1}^n X_i^3 formu üzerinden parametre ile etkileşime girdiği için, θ\theta parametresine ait yeterli istatistik budur.

Step-by-Step Solution

1
Örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (olabilirlik fonksiyonu) oluşturun.
L(θ;x)=∏i=1n(3xi2θ3e−(xi/θ)3)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{3x_i^2}{\theta^3} e^{-(x_i/\theta)^3} \right)
Yeterli istatistiği bulmanın ilk adımı tüm örneklemin aynı anda gerçekleşme olasılığını gösteren ortak dağılımı yazmaktır.
2
Olabilirlik fonksiyonunu matematiksel olarak düzenleyip çarpım sembolünü dağıtın.
L(θ;x)=3n∏i=1nxi2θ3nexp⁡(−∑i=1nxi3θ3)L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{3^n \prod_{i=1}^n x_i^2}{\theta^{3n}} \exp\left( -\sum_{i=1}^n \frac{x_i^3}{\theta^3} \right)
Teoremi uygulayabilmek için ifadeyi parametreye bağlı olan ve olmayan kısımlar şeklinde organize etmemiz gerekir.
3
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kuralını (L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})) uygulayın.
g(T(x),θ)=1θ3nexp⁡(−1θ3∑i=1nxi3)g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^{3n}} \exp\left( -\frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n x_i^3 \right) ve h(x)=3n∏i=1nxi2h(\mathbf{x}) = 3^n \prod_{i=1}^n x_i^2 olarak ayrılır.
Parametreyi (θ\theta) içeren kısım gg fonksiyonunu, sadece gözlemleri içeren ve parametreden bağımsız kısım ise hh fonksiyonunu oluşturur. (x>0x>0 şartı da parametreden bağımsız olduğu için hh'nin içindedir.)
4
g(T(x),θ)g(T(\mathbf{x}), \theta) fonksiyonu üzerinden yeterli istatistiği (T(x)T(\mathbf{x})) teşhis edin.
T(x)=∑i=1nXi3T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n X_i^3 olarak bulunur.
gg fonksiyonu, örneklem değerlerine yalnızca ∑xi3\sum x_i^3 terimi üzerinden bağlıdır. Örneklem istatistiği bilinmeyen parametreyi içeremeyeceği için sadece bu toplam yeterli istatistiktir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Yeterlilik
Rate this question

Topics

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

More questions from this topic