Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi Practice Questions — KPSS İstatistik

Question 1Question →

Bir haberleşme mühendisi, kablosuz bir ağdaki sinyal genliklerini modellemek için Rayleigh dağılımından yararlanmaktadır. Sinyal genliklerini temsil eden $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonu, bilinmeyen $\theta > 0$ parametresi için aşağıdaki gibidir:

f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, \quad x > 0

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanılarak elde edilecek $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n X_i^2

\sum_{i=1}^n X_i

\prod_{i=1}^n X_i

\max_{1 \leq i \leq n} X_i

\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n X_i^2$

Answer

\sum_{i=1}^n X_i^2

ifadesi

\theta

için yeterli istatistiktir.

Olabilirlik fonksiyonu

L(\theta)

hesaplandığında, üstel ifadenin içinde gözlem değerlerinin karelerinin toplamı (

\sum_{i=1}^n X_i^2

) ve

\theta

parametresi bir arada yer almaktadır. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ndeki

g(T, \theta)

fonksiyonu tanımlandığında

T

fonksiyonunun

\sum_{i=1}^n X_i^2

olduğu açıkça görülmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik fonksiyonunu (L(θ)) oluşturmak

L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{x_i}{\theta^2} e^{-\frac{x_i^2}{2\theta^2}} \right)

Yeterli istatistiği bulmanın ilk adımı örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazmaktır.

2

Olabilirlik fonksiyonunu düzenleyerek çarpımları ayırmak

L(\theta) = \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) \frac{1}{\theta^{2n}} \exp\left(-\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2\right)

Neyman çarpanlara ayırma teoremini uygulayabilmek için parametreye bağlı olan ve olmayan terimleri net bir şekilde ayırmak gereklidir.

3

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremine göre fonksiyonu eşleştirmek

Teoreme göre

L(\theta) = h(x) \cdot g(T, \theta)

formatına uydurulursa:

h(x) = \prod_{i=1}^n x_i

ve

g(T, \theta) = \frac{1}{\theta^{2n}} \exp\left(-\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2\right)

olur.

Parametre

\theta

ile sadece veri kümelerinin hangi fonksiyonu (

T

) üzerinden ilişkili olduğunu belirlemek içindir. Bu durum yeterli istatistiğin

T = \sum_{i=1}^n X_i^2

olduğunu gösterir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Question 2Question →

$X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler olmak üzere, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \theta - 1 \le x \le \theta + 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olan dağılımdan rastgele bir örneklem çekilmiştir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) dikkate alındığında, $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $X_{(1)} = \min(X_i)$ ve $X_{(n)} = \max(X_i)$ sıra istatistiklerini ifade etmektedir.)

X_{(n)}

\bar{X}

X_{(1)}

X_{(n)} - X_{(1)}

(X_{(1)}, X_{(n)})

Show answer & explanation

Answer: $(X_{(1)}, X_{(n)})$

Answer

Doğru cevap, alt ve üst sınır koşullarını birlikte barındıran

(X_{(1)}, X_{(n)})

ortak istatistiğidir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu

L(\theta; \mathbf{x})

yazıldığında,

\theta

'ya bağlı kısmın indikatör fonksiyonu

I(x_{(n)} - 1 \le \theta \le x_{(1)} + 1)

şeklinde elde edilir. Bu durum,

\theta

parametresinin var olduğu aralığın hem örneklemin minimum değerine (

X_{(1)}

) hem de maksimum değerine (

X_{(n)}

) bağlı olarak sınırlandığını gösterir. Bu nedenle, olabilirlik fonksiyonunun

\theta

üzerinden çarpanlarına ayrılabilmesi için her iki istatistiğe de ihtiyaç vardır. Dolayısıyla,

\theta

parametresi hakkında tüm bilgiyi taşıyan yeterli istatistik

(X_{(1)}, X_{(n)})

vektörüdür.

Step-by-Step Solution

1

Örneklemin ortak olasılık yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu yazın.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \left(\frac{1}{2}\right)^n \prod_{i=1}^n I(\theta - 1 \le x_i \le \theta + 1)

Yeterli istatistiği bulmak için olabilirlik fonksiyonunun elde edilmesi ve indikatör fonksiyonlarının açıkça yazılması gerekir.

2

İndikatör fonksiyonlarının çarpımını sıra istatistikleri cinsinden tek bir eşitsizlik sistemi olarak ifade edin.

Tüm gözlemler için

\theta - 1 \le x_i \implies \theta - 1 \le X_{(1)}

ve

x_i \le \theta + 1 \implies X_{(n)} \le \theta + 1

.

Bir sınırın tüm gözlemler için geçerli olması, alt sınırın örneklem minimumundan küçük eşit, üst sınırın ise örneklem maksimumundan büyük eşit olmasını gerektirir.

3

Elde edilen eşitsizlikleri

\theta

parametresini merkeze alarak yeniden düzenleyin.

X_{(n)} - 1 \le \theta \le X_{(1)} + 1

elde edilir. İndikatör fonksiyonu:

I(X_{(n)} - 1 \le \theta \le X_{(1)} + 1)

halini alır.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulamak için fonksiyonun

\theta

'ya bağlı olan

g(T(\mathbf{x}); \theta)

ve

\theta

'dan bağımsız

h(\mathbf{x})

kısımlarını netleştirmek gerekir.

4

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayarak yeterli istatistiği belirleyin.

L(\theta; \mathbf{x}) = \underbrace{\left(\frac{1}{2}\right)^n I(X_{(n)} - 1 \le \theta \le X_{(1)} + 1)}_{g(T(\mathbf{x}); \theta)} \cdot \underbrace{1}_{h(\mathbf{x})}

. Yeterli istatistik

(X_{(1)}, X_{(n)})

'dir.

Teoreme göre

\theta

'yı içeren ifade, sadece bir

T(\mathbf{x})

istatistiği üzerinden örneğe bağlıysa o istatistik yeterlidir. Burada fonksiyon açıkça örneklemin hem minimumuna hem de maksimumuna ihtiyaç duymaktadır.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Düzgün Dağılımda Yeterli İstatistik

Question 3Question →

Bir araştırmacı, sıfıra göre simetrik olan ve $(-\theta, \theta)$ aralığında sürekli üniform dağılıma sahip bir kitleden rastgele seçilen $n$ birimlik $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemini incelemektedir. Kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{2\theta}, & -\theta \leq x \leq \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanıldığında $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\max_{1 \leq i \leq n} |X_i|

X_{(n)}

X_{(n)} - X_{(1)}

\bar{X}

\sum_{i=1}^n X_i^2

Show answer & explanation

Answer: $\max_{1 \leq i \leq n} |X_i|$

Answer

Doğru cevap

\max_{1 \leq i \leq n} |X_i|

istatistiğidir. Çarpanlara ayırma teoremi uygulandığında, tüm örneklemin

[-\theta, \theta]

aralığına düşme şartı, mutlak değerce en büyük gözlemin

\theta

'dan küçük veya eşit olması ile ifade edilir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği olabilirlik fonksiyonu

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

şeklinde yazılmalıdır.

U(-\theta, \theta)

dağılımında olabilirlik fonksiyonundaki gösterge fonksiyonu

-\theta \leq X_{(1)}

ve

X_{(n)} \leq \theta

şartlarını gerektirir. Bu iki şart, tüm örneklem değerlerinin mutlak değerce

\theta

'dan küçük olmasını, yani

\max_{1 \leq i \leq n} |X_i| \leq \theta

olmasını zorunlu kılar. Olabilirlik fonksiyonundaki

\theta

parametresi sadece bu

\max |X_i|

istatistiği üzerinden örnekleme bağlandığı için doğru istatistik budur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklemin ortak olasılık yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu yazmak.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{1}{2\theta} I_{[-\theta, \theta]}(x_i) \right) = \left(\frac{1}{2\theta}\right)^n \prod_{i=1}^n I_{[-\theta, \theta]}(x_i)

elde edilir.

Yeterli istatistiği bulmak için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'nin temelini oluşturan olabilirlik fonksiyonu tanımlanmalıdır.

2

Gösterge (indicator) fonksiyonlarının çarpımını tek bir koşul altında birleştirmek.

Çarpımın

1

olması için tüm

i

'ler için

-\theta \leq x_i \leq \theta

olmalıdır. Bu durum

x_{(1)} \geq -\theta

ve

x_{(n)} \leq \theta

anlamına gelir.

Parametreye bağlı sınırları olan dağılımlarda yeterli istatistik daima gösterge fonksiyonunun sınırlarından (sıra istatistiklerinden) elde edilir.

3

Sınır koşullarını

\theta

parametresi için ortak bir istatistiğe dönüştürmek.

-x_{(1)} \leq \theta

ve

x_{(n)} \leq \theta

eşitsizlikleri birleştirildiğinde

\max(-x_{(1)}, x_{(n)}) \leq \theta

olur. Bu, her bir gözlemin mutlak değerinin

\theta

'dan küçük olması, yani

\max |x_i| \leq \theta

demektir.

Olabilirlik fonksiyonunu

g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

biçiminde yazabilmek için

\theta

'yı sınırlayan en dar (tek) istatistiksel ifade bulunmalıdır.

4

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayarak sonucu belirlemek.

L(\theta; \mathbf{x}) = \underbrace{\left(\frac{1}{2\theta}\right)^n I_{[0, \theta]}(\max |x_i|)}_{g(T(\mathbf{x}), \theta)} \cdot \underbrace{1}_{h(\mathbf{x})}

formunda yazılır. Buradan

T(\mathbf{x}) = \max_{1 \leq i \leq n} |X_i|

yeterli istatistik olarak bulunur.

Teoreme göre, örneklem verisi sadece

T(\mathbf{x})

üzerinden parametre

\theta

ile ilişkiye giriyorsa,

T(\mathbf{x})

parametre için yeterli istatistiktir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Gösterge Fonksiyonları

Question 4Question →

Bir rüzgâr enerjisi santralinde, türbin kanatlarında oluşan mikro çatlakların kritik boyuta ulaşma süresi (yıl cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Bir araştırmacı, bu sürenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun aşağıdaki gibi olduğunu belirlemiştir:

f(x; \theta) = \frac{3x^2}{\theta^3} e^{-(x/\theta)^3}, \quad x > 0

Burada $\theta > 0$ , malzemenin direncini ifade eden bilinmeyen bir parametredir.

Araştırmacı, $n$ adet türbinden bağımsız olarak elde edilen $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemini kullanarak $\theta$ parametresi için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) yardımıyla bir yeterli istatistik elde etmek istemektedir.

Buna göre, $\theta$ parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n X_i^3

\sum_{i=1}^n X_i

\sum_{i=1}^n X_i^3

\prod_{i=1}^n X_i^2

\max_{1 \leq i \leq n} X_i

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n X_i^3$

Answer

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre

\theta

parametresi için yeterli istatistik

\sum_{i=1}^n X_i^3

fonksiyonudur.

Olabilirlik fonksiyonu (likelihood function) oluşturulup Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uygulandığında, örneklem ile bilinmeyen

\theta

parametresinin birlikte yer aldığı tek çarpan

\exp\left( -\frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n x_i^3 \right)

kısmıdır. Bu ifadede örnekleme ait veriler sadece

\sum_{i=1}^n X_i^3

formu üzerinden parametre ile etkileşime girdiği için,

\theta

parametresine ait yeterli istatistik budur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (olabilirlik fonksiyonu) oluşturun.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{3x_i^2}{\theta^3} e^{-(x_i/\theta)^3} \right)

Yeterli istatistiği bulmanın ilk adımı tüm örneklemin aynı anda gerçekleşme olasılığını gösteren ortak dağılımı yazmaktır.

2

Olabilirlik fonksiyonunu matematiksel olarak düzenleyip çarpım sembolünü dağıtın.

L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{3^n \prod_{i=1}^n x_i^2}{\theta^{3n}} \exp\left( -\sum_{i=1}^n \frac{x_i^3}{\theta^3} \right)

Teoremi uygulayabilmek için ifadeyi parametreye bağlı olan ve olmayan kısımlar şeklinde organize etmemiz gerekir.

3

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kuralını (

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

) uygulayın.

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^{3n}} \exp\left( -\frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n x_i^3 \right)

ve

h(\mathbf{x}) = 3^n \prod_{i=1}^n x_i^2

olarak ayrılır.

Parametreyi (

\theta

) içeren kısım

g

fonksiyonunu, sadece gözlemleri içeren ve parametreden bağımsız kısım ise

h

fonksiyonunu oluşturur. (

x>0

şartı da parametreden bağımsız olduğu için

h

'nin içindedir.)

4

g(T(\mathbf{x}), \theta)

fonksiyonu üzerinden yeterli istatistiği (

T(\mathbf{x})

) teşhis edin.

T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n X_i^3

olarak bulunur.

g

fonksiyonu, örneklem değerlerine yalnızca

\sum x_i^3

terimi üzerinden bağlıdır. Örneklem istatistiği bilinmeyen parametreyi içeremeyeceği için sadece bu toplam yeterli istatistiktir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Yeterlilik

Question 5Question →

Bir finansal risk analisti, belirli bir hisse senedi portföyünün günlük getiri oranlarının standardize edilmiş değerlerini analiz etmektedir. Bu değerlerin

X_1, X_2, \dots, X_n

bağımsız ve aynı dağılımlı bir rastgele örneklem oluşturduğu ve olasılık yoğunluk fonksiyonunun

f(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta - 1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

ile verildiği varsayılmaktadır. Burada

\theta > 0

bilinmeyen bir parametredir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Factorization Theorem) kullanıldığında $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\prod_{i=1}^n X_i

\sum_{i=1}^n X_i

X_{(n)}

X_{(1)}

\sum_{i=1}^n X_i^2

Show answer & explanation

Answer: $\prod_{i=1}^n X_i$

Answer

\prod_{i=1}^n X_i

ifadesi Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre yeterli bir istatistiktir.

Olabilirlik fonksiyonu düzenlendiğinde

L(\theta) = \theta^n (\prod_{i=1}^n x_i)^{\theta - 1}

şeklinde elde edilir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre bu eşitlik, parametreyi barındıran

g(T, \theta) = \theta^n (\prod_{i=1}^n x_i)^{\theta}

fonksiyonu ve parametreden bağımsız

h(x) = (\prod_{i=1}^n x_i)^{-1}

fonksiyonu olarak iki çarpan halinde ayrıştırılabilir. Parametre

\theta

, gözlem değerlerine sadece

\prod_{i=1}^n X_i

istatistiği vasıtasıyla bağlandığı için bu ifade yeterli bir istatistiktir.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu kurun.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^n (\theta x_i^{\theta - 1})

Örneklem birimleri birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı olduğu için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, marjinal fonksiyonların çarpımına eşittir.

2

Çarpım işlemini düzenleyin.

L(\theta) = \theta^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\theta - 1}

Sabit

\theta

terimi

n

kez çarpılarak başa alınır, tabanları aynı olan

x_i

terimlerinin üsleri ortak kuvvette toplanır.

3

İfadeyi Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi yapısına (

g(t, \theta) \cdot h(x)

) uygun şekilde dönüştürün.

L(\theta) = \left[ \theta^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\theta} \right] \cdot \left[ \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-1} \right]

Teoreme göre, olabilirlik fonksiyonu yalnızca parametre ve istatistiğe bağlı

g

fonksiyonu ile yalnızca gözlemlere bağlı

h

fonksiyonunun çarpımı olarak yazılmalıdır.

4

Yeterli istatistiği (

T(X)

) belirleyin.

T(X) = \prod_{i=1}^n X_i

\theta

parametresi ile birlikte çalışan

g

fonksiyonunun içindeki veriye bağlı terim, rastgele değişkenlerin çarpımıdır.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Factorization Theorem)

Question 6Question →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) veritabanında yer alan hanehalkı aylık tüketim harcamalarının, şekil parametresi $\alpha > 0$ ve ölçek parametresi $\beta > 0$ olan Gama dağılımına uyduğu varsayılmaktadır. Gama dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x; \alpha, \beta) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}, \quad x > 0

Bu kitleden alınan $n$ birimlik bağımsız $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemi kullanılarak $\boldsymbol{\theta} = (\alpha, \beta)$ bilinmeyen parametre vektörü tahmin edilmek istenmektedir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında, $(\alpha, \beta)$ parametre vektörü için ortak yeterli (jointly sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\left( \prod_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i \right)

\left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right)

\left( \min_{1 \leq i \leq n} X_i, \sum_{i=1}^n X_i \right)

\left( \prod_{i=1}^n X_i, \max_{1 \leq i \leq n} X_i \right)

\sum_{i=1}^n X_i

Show answer & explanation

Answer: $\left( \prod_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i \right)$

Answer

Ortak yeterli istatistik, gözlemlerin çarpımı ve toplamından oluşan

(\prod_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i)

vektörüdür.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremine göre, olabilirlik fonksiyonu parametrelere ve bir istatistiğe bağlı olan

g(T(x)|\theta)

fonksiyonu ile sadece gözlemlere bağlı olan

h(x)

fonksiyonunun çarpımı olarak yazılabiliyorsa,

T(x)

yeterli istatistiktir. Gama dağılımı için olabilirlik fonksiyonu düzenlendiğinde parametrelere bağlı kısım hem gözlemlerin çarpımını (

\prod X_i

) hem de gözlemlerin toplamını (

\sum X_i

) içerdiği için, bu iki değer ortak yeterli istatistik vektörünü oluşturur.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu oluşturun.

L(\alpha, \beta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} x_i^{\alpha-1} e^{-x_i/\beta} \right]

Yeterli istatistikleri bulmak için gözlemlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun parametrelere göre ifade edilmesi gerekir.

2

Çarpım işlemini dağıtarak olabilirlik fonksiyonunu düzenleyin.

L(\alpha, \beta; \mathbf{x}) = \left( \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} \right)^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\alpha-1} \exp\left( -\frac{1}{\beta} \sum_{i=1}^n x_i \right)

Neyman teoremine hazırlık yapmak için parametre içeren terimler ile örneklem değerlerini gruplamak şarttır.

3

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremini (

L = g(T(\mathbf{x}) | \boldsymbol{\theta}) \cdot h(\mathbf{x})

) uygulayın.

g(T, \boldsymbol{\theta}) = \left( \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} \right)^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\alpha-1} \exp\left( -\frac{1}{\beta} \sum_{i=1}^n x_i \right)

ve

h(\mathbf{x}) = 1

olarak ayrıştırılır.

Parametrelere (

\alpha, \beta

) bağlı olan

g

fonksiyonunun içindeki örneklem fonksiyonları, aranan ortak yeterli istatistikleri verir. Bu fonksiyonlar

\prod X_i

ve

\sum X_i

'dir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Yeterlilik)

Question 7Question →

Bir nükleer fizikçi, belirli bir radyoaktif izotopun bozunma enerjisi seviyelerini (MeV cinsinden) ölçmektedir. Yapılan ölçümleri temsil eden $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örnekleminin, beklenen değeri $\theta \ (\theta > 0)$ ve varyansı $\theta^2$ olan bir normal dağılımdan geldiği varsayılmaktadır.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında, bilinmeyen $\theta$ parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n X_i

\sum_{i=1}^n X_i^2

\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

\left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right)

\left( \min_{1 \le i \le n} X_i, \max_{1 \le i \le n} X_i \right)

Show answer & explanation

Answer: $\left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right)$

Answer

Doğru cevap, beklenen değer ve varyansın her ikisinin de aynı parametreye bağlı olmasından kaynaklı her iki istatistiksel toplam ifadesini de içeren

\left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right)

vektörüdür.

Olabilirlik fonksiyonu yazıldığında

L(\theta|\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \theta^{-n} \exp(-\frac{n}{2}) \exp\left(-\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2 + \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i\right)

elde edilir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca bu fonksiyon

g(T(\mathbf{x})|\theta) h(\mathbf{x})

olarak ayrıştırıldığında,

\theta

'ya bağlı

g

fonksiyonunun veriye sadece

\sum_{i=1}^n x_i

ve

\sum_{i=1}^n x_i^2

istatistikleri aracılığıyla bağlı olduğu görülür. Varyans ve beklenen değer aynı bilinmeyen parametreye bağlı olduğu için formüldeki her iki istatistik de zorunlu olarak yeterli istatistiğin birer parçasıdır.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik fonksiyonunu (Likelihood) kurmak

L(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\theta} \exp\left( -\frac{(x_i - \theta)^2}{2\theta^2} \right)

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremini uygulayabilmek için öncelikle örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun çarpım olarak yazılması gerekir.

2

Çarpım sembolünü ifadeye dahil edip üstel içindeki kareyi açmak

L(\theta|\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \theta^{-n} \exp\left( -\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2\theta x_i + \theta^2) \right)

Üstel kısımdaki toplamın içindeki tam kare açılımı yapılarak veriye bağlı istatistiklerin izole edilmesi sağlanır.

3

Toplam sembolünü terimlere dağıtarak ifadeyi yeniden düzenlemek

L(\theta|\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \theta^{-n} \exp\left(-\frac{n}{2}\right) \exp\left( -\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2 + \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i \right)

Parametreye (

\theta

) bağlı olan terimler ile yalnızca veriye bağlı olan terimleri ayırabilmek ve çarpan formuna getirmek için matematiksel düzenleme yapılır.

4

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi bileşenlerini belirlemek

Fonksiyon

g(T(\mathbf{x})|\theta) \cdot h(\mathbf{x})

olarak ayrıldığında, parametreyi içeren

g

fonksiyonunda

\theta

'ya eşlik eden veriye bağlı bileşenler

T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right)

olarak tanımlanır.

h(\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2}

olur.

Teoreme göre, olabilirlik fonksiyonu

g

(parametre ve istatistiği içeren kısım) ile

h

(sadece veriyi içeren kısım) olarak ayrıldığında,

g

fonksiyonunun içindeki

T(\mathbf{X})

yeterli istatistik olmalıdır.

Key Concept

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Estimated Time:2m 30s

Question 8Question →

Bir çevre mühendisi, bir göldeki cıva konsantrasyonunu (mikrogram/litre) ölçmektedir. Cıva konsantrasyonu logaritmik olarak normal dağıldığından, rastgele seçilen $n$ farklı su örneğinden elde edilen ölçümler ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) Log-Normal dağılım ile modellenmiştir. Dağılımın temelini oluşturan varyans değerinin $\sigma^2 = 1$ olduğu bilinmektedir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu, bilinmeyen $\theta$ parametresi ( $-\infty < \theta < \infty$ ) için aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x; \theta) = \frac{1}{x \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2} (\ln x - \theta)^2\right), \quad x > 0

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) dikkate alındığında, bilinmeyen $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n X_i

\sum_{i=1}^n X_i^2

\sum_{i=1}^n (\ln X_i)^2

\sum_{i=1}^n \ln X_i

\max_{1 \le i \le n} \ln X_i

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n \ln X_i$

Answer

\theta

parametresi için yeterli istatistik

\sum_{i=1}^n \ln X_i

değeridir.

Örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonu yazıldığında

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2} (\ln x_i - \theta)^2\right)

elde edilir. Üstel ifade içindeki tam kare açılımı yapılıp terimler düzenlendiğinde fonksiyon; parametreyi ve istatistiği birlikte içeren

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \exp\left(\theta \sum_{i=1}^n \ln x_i - \frac{n\theta^2}{2}\right)

ile sadece gözlemlere bağlı olan

h(\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{-1} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (\ln x_i)^2\right)

fonksiyonlarının çarpımı şeklinde yazılır. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği,

g

fonksiyonunun içindeki

T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n \ln X_i

terimi

\theta

için yeterli (sufficient) istatistiktir.

Step-by-Step Solution

1

n

çaplı örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (olabilirlik fonksiyonunu) yazın.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{1}{x_i \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2} (\ln x_i - \theta)^2\right) \right]

Yeterli istatistiği bulmanın ilk adımı, tüm örneklemin ortak dağılımını temsil eden olabilirlik fonksiyonunu oluşturmaktır.

2

Çarpım sembolünü üstel ifadenin içine toplam olarak geçirin ve tam kare açılımını uygulayın.

L(\theta; \mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{-1} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \left((\ln x_i)^2 - 2\theta\ln x_i + \theta^2\right)\right)

Neyman teoremini uygulayabilmek için üstel ifadedeki parametre ile gözlem değerlerinin ilişkisini açıkça görmek gereklidir.

3

Fonksiyonu

g(T(\mathbf{x}), \theta)

ve

h(\mathbf{x})

formunda iki çarpana ayırın.

L(\theta; \mathbf{x}) = \underbrace{\exp\left(\theta \sum_{i=1}^n \ln x_i - \frac{n\theta^2}{2}\right)}_{g(T(\mathbf{x}), \theta)} \cdot \underbrace{(2\pi)^{-n/2} \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{-1} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (\ln x_i)^2\right)}_{h(\mathbf{x})}

Teoreme göre, hem

\theta

'yı hem de istatistiği içeren

g

fonksiyonunun içindeki

T(\mathbf{x})

terimi yeterli istatistiktir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem)

Question 9Question →

Bir sigorta şirketinin aktüerya departmanı, poliçe sahiplerinin hasar taleplerini incelemektedir. Bir poliçe sahibinin $r=4$ adet hasar talebinde bulunana kadar geçen ay sayısı $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık fonksiyonu, $p$ ( $0 < p < 1$ ) herhangi bir ayda hasar talebi gelme olasılığı olmak üzere,

P(X=x; p) = \binom{x-1}{3} p^4 (1-p)^{x-4}, \quad x = 4, 5, 6, \dots

şeklinde verilmiştir.

Rastgele seçilen $n$ adet poliçe sahibi için 4. hasar talebine kadar geçen ay sayıları $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak gözlemlenmiştir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında, $p$ parametresi için yeterli (süfisan) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\prod_{i=1}^n X_i

\max(X_1, X_2, \dots, X_n)

\sum_{i=1}^n X_i

\sum_{i=1}^n X_i^2

\prod_{i=1}^n \binom{X_i-1}{3}

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n X_i$

Answer

p

parametresi için yeterli istatistik, gözlemlerin toplamı olan

\sum_{i=1}^n X_i

'dir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre olabilirlik fonksiyonu

L(p; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x})|p) \cdot h(\mathbf{x})

şeklinde iki parçaya ayrılır. Örneklem verileri için olabilirlik fonksiyonu düzenlendiğinde parametre

p

'yi içeren kısım

p^{4n}(1-p)^{\sum X_i - 4n}

olarak bulunur. Bu ifade örnekleme yalnızca

\sum_{i=1}^n X_i

üzerinden bağlı olduğundan, doğru cevap gözlemlerin toplamını veren istatistiktir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen olasılık fonksiyonunu kullanarak

n

birimlik örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu yazmak.

L(p; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left[ \binom{x_i-1}{3} p^4 (1-p)^{x_i-4} \right]

Yeterli istatistiği bulmak için öncelikle örneklemin ortak olasılık dağılımını temsil eden olabilirlik fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

2

Olabilirlik fonksiyonundaki çarpım işlemini düzenleyerek ifadeyi sadeleştirmek ve üslü ifadeleri toplamak.

L(p; \mathbf{x}) = p^{4n} (1-p)^{\sum_{i=1}^n (x_i-4)} \prod_{i=1}^n \binom{x_i-1}{3} = \left[ p^{4n} (1-p)^{\sum_{i=1}^n x_i - 4n} \right] \times \left[ \prod_{i=1}^n \binom{x_i-1}{3} \right]

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayabilmek için parametreyi içeren terimler ile içermeyen terimleri belirgin şekilde ayırmak gerekir.

3

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kuralını (

L = g(T(\mathbf{x}) | p) \cdot h(\mathbf{x})

) uygulamak.

Parametreye bağlı kısım:

g(T(\mathbf{x}) | p) = p^{4n} (1-p)^{\sum_{i=1}^n x_i - 4n}

Parametreden bağımsız kısım:

h(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \binom{x_i-1}{3}

Teoreme göre,

p

'ye bağlı olan

g

fonksiyonu, örnekleme yalnızca yeterli istatistik

T(\mathbf{x})

üzerinden bağlı olmalıdır.

4

g

fonksiyonu üzerinden yeterli istatistiği teşhis etmek.

T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n X_i

Parametreye bağlı olan

g

fonksiyonu incelendiğinde, örneklem verilerinin (gözlemlerin) fonksiyon içinde sadece toplam (

\sum_{i=1}^n x_i

) formunda yer aldığı görülmektedir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile Yeterli İstatistik Bulma

Estimated Time:1m 30s

Question 10Question →

Bir yenilenebilir enerji uzmanı, belirli bir bölgedeki rüzgâr türbinlerinin arızasız çalışma sürelerini (ay cinsinden) incelemektedir. Birbirinden bağımsız $n$ adet türbinin arızasız çalışma süreleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele değişkenleri ile modellenmiş olup, bu değişkenlerin $(0, \theta)$ aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir.

Uzman, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni (Neyman Factorization Theorem) kullanarak $\theta$ parametresi için bir yeterli (sufficient) istatistik belirlemek istemektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi $\theta$ parametresi için bir yeterli istatistiktir?

Örneklemdeki en büyük gözlem değeri olan

X_{(n)}

Örneklem ortalaması olan

\bar{X}

Düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) olan

\frac{n+1}{n} X_{(n)}

Örneklemdeki en küçük gözlem değeri olan

X_{(1)}

Gözlem değerlerinin toplamı olan

\sum_{i=1}^{n} X_i

Show answer & explanation

Answer: Örneklemdeki en büyük gözlem değeri olan $X_{(n)}$

Answer

\theta

parametresi için yeterli istatistik, örneklemdeki en büyük gözlem değeri olan

X_{(n)}

istatistiğidir.

Düzgün dağılım gibi parametrenin tanım kümesini sınırlandırdığı durumlarda, yeterli istatistik genellikle uç değerlere (sıra istatistiklerine) bağlıdır. Olabilirlik fonksiyonu

L(\theta | \mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} I(X_{(n)} \leq \theta) I(X_{(1)} \geq 0)

şeklinde yazıldığında,

\theta

'yı içeren çarpan yalnızca en büyük sıra istatistiği olan

X_{(n)}

'i barındırdığından, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği

X_{(n)}

yeterli istatistiktir.

Step-by-Step Solution

1

Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunu (pdf) yazmak.

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} I(0 \leq x \leq \theta)

Olabilirlik fonksiyonunu oluşturmak için kitle dağılımının matematiksel formuna ihtiyaç vardır.

I

gösterge (indicator) fonksiyonudur.

2

Örneklem için ortak olasılık yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu oluşturmak.

L(\theta | \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} I(0 \leq x_i \leq \theta) = \frac{1}{\theta^n} \prod_{i=1}^{n} I(0 \leq x_i \leq \theta)

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayabilmek için

n

çaplı bağımsız örneklemin ortak dağılımı yazılmalıdır.

3

Gösterge fonksiyonlarının çarpımını sıra istatistikleri cinsinden ifade etmek.

Tüm

x_i

'lerin

0

ile

\theta

arasında olması, en küçük değerin

0

'dan büyük veya eşit olması ve en büyük değerin

\theta

'dan küçük veya eşit olması demektir:

I(0 \leq x_{(1)}) \cdot I(x_{(n)} \leq \theta)

. Böylece

L(\theta | \mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} I(x_{(n)} \leq \theta) \cdot I(x_{(1)} \geq 0)

elde edilir.

Parametreye (

\theta

) bağlı sınırları, örneklemin uygun istatistikleriyle (minimum ve maksimum) ayrıştırmak gerekir.

4

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayarak

g(T(x), \theta)

ve

h(x)

çarpanlarını belirlemek.

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} I(x_{(n)} \leq \theta)

ve

h(\mathbf{x}) = I(x_{(1)} \geq 0)

. Parametreye bağlı çarpan

g

fonksiyonu

X_{(n)}

istatistiğini içerdiğinden yeterli istatistik

T(\mathbf{x}) = X_{(n)}

olur.

Teoreme göre,

L(\theta | \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

şeklinde yazılabiliyorsa

T(\mathbf{x})

yeterli istatistiktir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Sıra İstatistikleri

Question 11Question →

Bir kamu laboratuvarında görevli bir gıda mühendisi, yeni geliştirilen bir gıda koruyucusunun belirli bir standart sıcaklıktaki etkinlik süresini (saat cinsinden) incelemektedir. Etkinlik süresini temsil eden rastgele değişkenin, $\theta$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere, $(\theta, \theta+5)$ aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır. Mühendis, birbirinden bağımsız $n$ adet ölçüm yaparak $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemini elde etmiştir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında, $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $X_{(1)} = \min(X_1, \dots, X_n)$ ve $X_{(n)} = \max(X_1, \dots, X_n)$ olarak tanımlanmıştır.)

(X_{(1)}, X_{(n)})

Yalnızca

X_{(n)}

Yalnızca

X_{(1)}

\sum_{i=1}^n X_i

\bar{X}

Show answer & explanation

Answer: $(X_{(1)}, X_{(n)})$

Answer

\theta

parametresi için yeterli istatistik

(X_{(1)}, X_{(n)})

vektörüdür.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x})|\theta) \cdot h(\mathbf{x})

biçiminde yazıldığında,

T(\mathbf{x})

yeterli istatistiktir. Dağılım

(\theta, \theta+5)

aralığında olduğu için olabilirlik fonksiyonu ancak tüm veriler bu aralıkta olduğunda sıfırdan farklıdır. Bu koşul, örneklemin en küçük değerinin

\theta

'dan büyük veya eşit (

X_{(1)} \ge \theta

) ve örneklemin en büyük değerinin

\theta+5

'ten küçük veya eşit (

X_{(n)} \le \theta+5

) olmasıyla sağlanır. Parametreye bağlı bu şart

g(T(\mathbf{x})|\theta)

çarpanını oluşturur ve bu fonksiyon veriye yalnızca

X_{(1)}

ve

X_{(n)}

üzerinden bağlı olduğu için yeterli istatistik bu iki sıra istatistiğinin oluşturduğu vektördür.

Step-by-Step Solution

1

Sürekli düzgün dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonunu (pdf) gösterge (indicator) fonksiyonu ile tanımlayın.

f(x; \theta) = \frac{1}{5} I(\theta \le x \le \theta+5)

Tanım aralığı (destek kümesi) bilinmeyen parametreye bağlı olduğunda, yeterli istatistiği bulabilmek için sınır koşullarını matematiksel olarak ifade etmek zorunludur.

2

n

çaplı örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturun.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{5} I(\theta \le x_i \le \theta+5) = (\frac{1}{5})^n \prod_{i=1}^n I(\theta \le x_i \le \theta+5)

Örneklemlerin bağımsızlığından dolayı ortak dağılım fonksiyonu, marjinal olasılık fonksiyonlarının çarpımıdır.

3

Gösterge fonksiyonlarının çarpımını, sıra istatistiklerini kullanarak tek bir ifadeye dönüştürün.

Tüm

x_i

'lerin

\theta

ile

\theta+5

arasında olması, en küçük değerin

\theta

'dan büyük ve en büyük değerin

\theta+5

'ten küçük olması demektir:

L(\theta; \mathbf{x}) = (\frac{1}{5})^n I(\theta \le X_{(1)}) I(X_{(n)} \le \theta+5)

Ortak gösterge bölgesini parametre ve veri ayrımı yapabilmek için basitleştirmek gereklidir.

4

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni (

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x})|\theta) \cdot h(\mathbf{x})

) uygulayın.

g(T(\mathbf{x})|\theta) = I(\theta \le X_{(1)}) I(X_{(n)} \le \theta+5)

ve

h(\mathbf{x}) = (\frac{1}{5})^n

olarak belirlenir.

g

fonksiyonu veriye sadece

(X_{(1)}, X_{(n)})

üzerinden bağlıdır.

Teoreme göre, olabilirlik fonksiyonunun parametreye bağlı çarpanı içindeki veri fonksiyonu

T(\mathbf{x})

, yeterli istatistiktir.

Key Concept

Sınırları parametreye bağlı dağılımlarda (düzgün dağılım gibi) yeterli istatistik bulunurken gösterge (indicator) fonksiyonlarının çarpımından doğan sıra istatistiklerinin (minimum ve maksimum) kullanımı.

Question 12Question →

Bir vergi denetmeni, bir bölgedeki yüksek gelirli mükelleflerin beyan ettikleri yıllık kazançları (bin TL) incelemektedir. Kazançların ( $X$ ), bilinen bir $x_0$ ( $x \geq x_0$ ) alt sınırı için aşağıdaki Pareto olasılık yoğunluk fonksiyonuna uygun olduğu varsayılmaktadır:

f(x; \theta) = \frac{\theta x_0^\theta}{x^{\theta+1}}, \quad x \geq x_0, \theta > 0

Rastgele seçilen $n$ adet mükellefin kazançları $X_1, X_2, \dots, X_n$ olduğuna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre $\theta$ parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^{n} X_i

\prod_{i=1}^{n} X_i

\max(X_1, X_2, \dots, X_n)

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i

\min(X_1, X_2, \dots, X_n)

Show answer & explanation

Answer: $\prod_{i=1}^{n} X_i$

Answer

Gözlemlerin çarpımı olan

\prod_{i=1}^{n} X_i

ifadesi,

\theta

parametresi için yeterli istatistiktir.

Olabilirlik fonksiyonu incelendiğinde,

\theta

parametresini içeren çarpanın verilere sadece gözlemlerin çarpımı (

\prod X_i

) aracılığıyla bağlı olduğu görülmektedir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre bu durum, gözlemlerin çarpımının parametre hakkında tam bilgi sağladığını ve dolayısıyla yeterli istatistik olduğunu kanıtlar.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik fonksiyonunu (

L(\theta)

) kurun.

L(\theta; x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{\theta x_0^\theta}{x_i^{\theta+1}} = \frac{\theta^n (x_0^\theta)^n}{(\prod_{i=1}^n x_i)^{\theta+1}}

Yeterli istatistiği bulmanın ilk adımı örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazmaktır.

2

Fonksiyonu parametreye bağlı ve bağımsız kısımlara ayırın.

L(\theta; \mathbf{x}) = \left[ \theta^n x_0^{n\theta} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-\theta} \right] \cdot \left[ \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-1} \right]

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, olabilirlik fonksiyonunun

g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

şeklinde yazılmasını gerektirir.

3

Yeterli istatistiği (

T(\mathbf{x})

) belirleyin.

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \theta^n x_0^{n\theta} (\prod x_i)^{-\theta} \implies T(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n X_i

Parametreye (

\theta

) bağlı olan kısım sadece gözlemlerin çarpımı (

T

) üzerinden verilere bağlıdır.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca, olabilirlik fonksiyonu parametreye bağlı bir istatistik ve parametreden bağımsız bir gözlem fonksiyonu olarak çarpılabiliyorsa, o istatistik yeterlidir.

Alternative Method

Log-olabilirlik fonksiyonu üzerinden gidilerek

\sum \ln(X_i)

ifadesinin de yeterli olduğu görülebilir; ancak şıklarda bu ifadenin karşılığı olan çarpım formu (

\prod X_i

) yer almaktadır.

Estimated Time:1m 30s

Question 13Question →

Bir belediyenin harita kadastro müdürlüğü tarafından yürütülen arazi ölçüm çalışmalarında, cihazlardan kaynaklanan ölçüm hataları ( $X$ ) ortalaması sıfır olan bir Laplace (çift üstel) dağılımı göstermektedir. Bu kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir:

f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta} e^{-\frac{|x|}{\theta}}, \quad -\infty < x < \infty, \quad \theta > 0

Buna göre, rastgele seçilen $n$ birimlik bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) temelinde $\theta$ parametresi için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^{n} |X_i|

\sum_{i=1}^{n} X_i

\sum_{i=1}^{n} X_i^2

\prod_{i=1}^{n} X_i

\max(X_1, \dots, X_n)

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^{n} |X_i|$

Answer

Verilen Laplace dağılımı için

\theta

parametresine ait yeterli istatistik, gözlemlerin mutlak değerlerinin toplamı olan

\sum_{i=1}^{n} |X_i|

ifadesidir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu

g(T(\mathbf{x}), \theta) h(\mathbf{x})

şeklinde yazılabiliyorsa

T(\mathbf{x})

yeterli bir istatistiktir. Laplace dağılımının çarpım formunda, üstel terimler toplandığında

\sum |x_i|

ifadesi elde edilir ve bu ifade

\theta

ile birlikte

g

fonksiyonunu oluşturur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklemin olabilirlik fonksiyonunu yazın.

L(\theta; x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2\theta} e^{-\frac{|x_i|}{\theta}} \right) = \left( \frac{1}{2\theta} \right)^n e^{-\frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i|}{\theta}}

Neyman teoremini uygulamak için önce tüm gözlemlerin ortak olasılık fonksiyonu oluşturulmalıdır.

2

Olabilirlik fonksiyonunu Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre parçalara ayırın.

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

biçiminde yazılırsa:

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} e^{-\frac{\sum |x_i|}{\theta}}

ve

h(\mathbf{x}) = \frac{1}{2^n}

olur.

Teorem gereği, veriye sadece bir istatistik (

T

) üzerinden bağlı olan kısım (

g

) ile parametreden bağımsız olan kısım (

h

) ayrıştırılmalıdır.

3

g

fonksiyonu içindeki istatistiği belirleyin.

T(X_1, \dots, X_n) = \sum_{i=1}^{n} |X_i|

g

fonksiyonunun gözlemlere bağımlılığı sadece mutlak değerlerin toplamı üzerinden gerçekleşmektedir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Laplace Dağılımı

Question 14Question →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yürütülen bir hanehalkı bilişim teknolojileri kullanım araştırmasında, rastgele seçilen $n$ bireyin internet kullanma durumu (kullananlar 1, kullanmayanlar 0) $p$ parametreli Bernoulli dağılımına uymaktadır. Bu kitle içerisinden seçilen $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemi için $p$ parametresinin yeterli istatistiği aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^{n} X_i

\max(X_1, X_2, \dots, X_n)

X_1 + X_n

\prod_{i=1}^{n} X_i

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - p)^2

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^{n} X_i$

Answer

Bernoulli dağılımı için yeterli istatistik, gözlemlerin toplamı olan

\sum_{i=1}^{n} X_i

ifadesidir.

Doğru seçenek, Bernoulli dağılımının olabilirlik fonksiyonu üzerinden Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uygulandığında, parametreye bağlı kısmın sadece gözlemlerin toplamı olan

\sum X_i

üzerinden ifade edilebilmesi nedeniyle doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik fonksiyonunu (

L(p)

) yazın.

L(p) = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i}

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulamak için fonksiyonun çarpım formuna ihtiyaç vardır.

2

Fonksiyonu

g(T(x), p)

ve

h(x)

bileşenlerine ayırın.

L(p) = [p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i}] \times [1]

burada

g(T(x), p) = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i}

ve

h(x) = 1

olur.

Teoreme göre, eğer olabilirlik fonksiyonu bu şekilde ayrılabiliyorsa

T(x)

yeterli istatistiktir.

3

Yeterli istatistiği (

T(x)

) tanımlayın.

T(x) = \sum_{i=1}^{n} X_i

Parametreyi içeren fonksiyonun sadece gözlemlerin toplamına bağlı olduğu görülmektedir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi: Bir

T(x)

istatistiğinin yeterli olması için olabilirlik fonksiyonunun

L(\theta) = g(T(x), \theta) \cdot h(x)

formunda yazılabilmesi gerekir.

Practice More

Poisson dağılımı için yeterli istatistiğin de benzer şekilde gözlemlerin toplamı olup olmadığını kontrol ediniz.

Estimated Time:45s

Question 15Question →

Bir kamu kurumunda işlem gören günlük evrak sayısı, $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uygunluk göstermektedir. Bu kurumda rastgele seçilen $n$ günlük evrak sayılarını temsil eden $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemi için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre $\lambda$ parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^{n} X_i

\prod_{i=1}^{n} X_i

\sum_{i=1}^{n} X_i^2

\max(X_1, X_2, \dots, X_n)

X_1 + X_n

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^{n} X_i$

Answer

Gözlemlerin toplamı olan

\sum_{i=1}^{n} X_i

ifadesi

\lambda

parametresi için yeterli istatistiktir.

Poisson dağılımının olabilirlik fonksiyonu incelendiğinde,

\lambda

parametresini içeren terimlerin yalnızca gözlemlerin toplamı (

\sum X_i

) üzerinden verilere bağlı olduğu görülür. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca, bu durum toplam istatistiğinin parametre için yeterli olduğunu kanıtlar.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik fonksiyonunu (likelihood function) yazın.

L(\lambda; x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!} = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum_{i=1}^{n} x_i}}{\prod_{i=1}^{n} x_i!}

Yeterli istatistiği bulmak için öncelikle örneklemin ortak olasılık kütle fonksiyonu oluşturulmalıdır.

2

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni (Factorization Theorem) uygulayın.

L(\lambda; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \lambda) \cdot h(\mathbf{x})

formunda;

g(\sum x_i, \lambda) = e^{-n\lambda} \lambda^{\sum x_i}

ve

h(\mathbf{x}) = \frac{1}{\prod x_i!}

olarak belirlenir.

Teorem gereği, olabilirlik fonksiyonu parametreye bağlı bir

g

fonksiyonu ve sadece verilere bağlı bir

h

fonksiyonu olarak ayrılabilmelidir.

3

Yeterli istatistiği (

T

) tanımlayın.

T(X_1, \dots, X_n) = \sum_{i=1}^{n} X_i

g

fonksiyonu sadece

\lambda

parametresine ve gözlemlerin toplamına bağlı olduğu için bu toplam yeterli bir istatistiktir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, bir istatistiğin parametre hakkındaki tüm bilgiyi içerip içermediğini belirlemek için olabilirlik fonksiyonunun iki parçaya ayrılmasını sağlar.

Estimated Time:45s

Question 16Question →

Bir belediyenin kurumsal iletişim merkezine gelen ardışık iki telefon araması arasındaki süre (dakika), $\theta$ parametreli ve $f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, x > 0$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip üstel dağılıma uygundur. Rastgele seçilen $n$ birimlik bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ olduğuna göre, $\theta$ parametresi için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile elde edilen yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^{n} X_i

\sum_{i=1}^{n} X_i^2

\max(X_1, \dots, X_n)

\prod_{i=1}^{n} X_i

X_1 + X_n

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^{n} X_i$

Answer

Toplam gözlem değeri olan

\sum_{i=1}^{n} X_i

istatistiğidir.

Üstel dağılımın olabilirlik fonksiyonu

\theta^{-n} \exp(-\frac{1}{\theta} \sum x_i)

şeklindedir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre bu ifade,

\theta

parametresine ve gözlemlerin toplamına bağlı bir

g

fonksiyonu ile sadece gözlemlere bağlı (burada 1 olan) bir

h

fonksiyonunun çarpımıdır. Dolayısıyla gözlemlerin toplamı,

\theta

için yeterli bir istatistiktir.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik fonksiyonunu (Likelihood function) yazın.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} e^{-x_i/\theta} = \theta^{-n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} x_i}

Yeterli istatistiği bulmak için öncelikle tüm örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olan olabilirlik fonksiyonu oluşturulmalıdır.

2

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayın.

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

formunda

g(\sum x_i, \theta) = \theta^{-n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum x_i}

ve

h(\mathbf{x}) = 1

olarak belirlenir.

Teorem gereği olabilirlik fonksiyonu, parametre ve istatistiğe bağlı bir fonksiyon ile sadece gözlemlere bağlı bir fonksiyonun çarpımı şeklinde yazılmalıdır.

3

Yeterli istatistiği (T) tanımlayın.

T(X_1, \dots, X_n) = \sum_{i=1}^{n} X_i

Fonksiyonun parametreye bağımlı olan kısmında yer alan tek örneklem bileşeni toplam sembolü olduğu için bu ifade yeterli istatistiktir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, bir istatistiğin parametre hakkında örneklemdeki tüm bilgiyi içerip içermediğini (yeterliliğini) belirlemek için olabilirlik fonksiyonunun çarpanlarına ayrılması yöntemidir.

Estimated Time:45s

Question 17Question →

Bir kalite kontrol mühendisi, yeni nesil bir elektronik parçanın dayanım süresini saat cinsinden incelemektedir. Bu dayanım sürelerinin, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere, $(\theta, 2\theta)$ aralığında sürekli üniform dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır. Mühendis, $n$ adet parçayı test ederek $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklem değerlerini elde etmiştir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanıldığında $\theta$ parametresi için ortak yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir? (Burada $X_{(1)}$ en küçük sıra istatistiğini, $X_{(n)}$ ise en büyük sıra istatistiğini göstermektedir.)

(X_{(1)}, X_{(n)})

X_{(n)}

X_{(1)}

\sum_{i=1}^{n} X_i

X_{(n)} - X_{(1)}

Show answer & explanation

Answer: $(X_{(1)}, X_{(n)})$

Answer

\theta

parametresi için ortak yeterli istatistik

(X_{(1)}, X_{(n)})

vektörüdür.

Verilen dağılımda alt sınır

\theta

, üst sınır ise

2\theta

'dır. Olasılık yoğunluk fonksiyonundaki gösterge fonksiyonları çarpıldığında, parametrenin sınırladığı bölge

I(\theta \leq X_{(1)})

ve

I(X_{(n)} \leq 2\theta)

olarak karşımıza çıkar. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uygulandığında olabilirlik fonksiyonu

g(X_{(1)}, X_{(n)}, \theta)

ve

h(\mathbf{x})

olarak ayrılır.

\theta

sadece en küçük ve en büyük sıra istatistikleri ile birlikte bulunduğu için her iki istatistik de zorunludur ve ortak yeterli istatistik

(X_{(1)}, X_{(n)})

vektörüdür.

Step-by-Step Solution

1

Kitleden alınan tek bir gözlemin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (pdf) gösterge (indicator) fonksiyonu yardımıyla ifade et.

f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta - \theta} = \frac{1}{\theta} \cdot I(\theta \leq x \leq 2\theta)

Dağılımın sınırları bilinmeyen

\theta

parametresine bağlı olduğunda, yeterli istatistiği bulabilmek için sınırların gösterge fonksiyonu ile açıkça yazılması şarttır.

2

n

çaplı örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluştur.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta) = \frac{1}{\theta^n} \prod_{i=1}^{n} I(\theta \leq x_i \leq 2\theta)

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, ortak olasılık (olabilirlik) fonksiyonunun incelenmesine dayanır.

3

Gösterge fonksiyonlarının çarpımını, sıra istatistikleri cinsinden tek bir ifadeye dönüştür.

Tüm

x_i

değerlerinin

\theta

ile

2\theta

arasında olması, en küçük değerin

\theta

'dan büyük veya eşit, en büyük değerin ise

2\theta

'dan küçük veya eşit olmasını gerektirir:

I(\theta \leq X_{(1)}) \cdot I(X_{(n)} \leq 2\theta)

. Buna göre

L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} \cdot I(\frac{X_{(n)}}{2} \leq \theta \leq X_{(1)})

elde edilir.

Çarpım durumundaki gösterge fonksiyonlarının sınır şartları, örneklemin sadece minimum ve maksimum değerlerine indirgenebilir.

4

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremini uygulayarak istatistiği belirle.

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

formatında;

h(\mathbf{x}) = 1

ve

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} I(\frac{X_{(n)}}{2} \leq \theta \leq X_{(1)})

olarak bulunur. Fonksiyon

\theta

'ya

X_{(1)}

ve

X_{(n)}

aracılığıyla bağlandığından ortak yeterli istatistik

(X_{(1)}, X_{(n)})

'dir.

Teoreme göre

\theta

'yı ve veriyi bir arada barındıran

g

fonksiyonunun veriye bağlı kısmı yeterli istatistiktir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) ve Gösterge Fonksiyonları

Question 18Question →

Bir aktüerya uzmanı, belirli bir sigorta branşında hasar ihbar sürelerini (ay cinsinden) analiz etmektedir. Bu sürelerin $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilen dağılıma sahip bir kitleden çekilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x-\theta}{\theta}}, & x \geq \theta \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) dikkate alındığında $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(1)} \right)

T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i

T(\mathbf{X}) = X_{(1)}

T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(n)} \right)

T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n (X_i - X_{(1)})

Show answer & explanation

Answer: $T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(1)} \right)$

Answer

Doğru cevap, hem veri toplamını hem de örneklem minimumunu içeren istatistik vektörüdür:

T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(1)} \right)

.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan hareketle olabilirlik fonksiyonu

L(\theta|\mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i - n\theta}{\theta}\right) I(x_{(1)} \geq \theta)

şeklinde elde edilir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, bu ifade

g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

biçiminde yazıldığında,

\theta

'yı barındıran

g

fonksiyonunun içindeki tüm veriye bağlı terimler yeterli istatistiği oluşturur. Formüldeki

e^n

kısmı

h(\mathbf{x})

olarak ayrıldığında, geriye kalan ifadede

\theta

ile bağ kuran değişkenler

\sum X_i

ve

X_{(1)}

'dir. Dolayısıyla ortak yeterli istatistik bu iki terimi içeren vektördür.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturun ve tanım kümesi kısıtını gösterge (indicator) fonksiyonu

I(x_i \geq \theta)

ile ifade edin.

L(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x_i-\theta}{\theta}} I(x_i \geq \theta) \right]

Yeterli istatistiği bulmak için öncelikle tüm örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun (olabilirlik fonksiyonu) eksiksiz yazılması gerekir.

2

Çarpım işlemini uygulayarak olabilirlik fonksiyonunu basitleştirin ve gösterge fonksiyonlarını birleştirin.

L(\theta|\mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i - n\theta}{\theta}\right) \prod_{i=1}^n I(x_i \geq \theta)

Fonksiyonu Neyman Teoremi formuna getirmek için matematiksel sadeleştirmeler yapılmalıdır.

3

Üstel terimi düzenleyin ve

\prod I(x_i \geq \theta)

ifadesinin

I(x_{(1)} \geq \theta)

'ya eşit olduğunu belirleyin.

L(\theta|\mathbf{x}) = \frac{e^n}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i}{\theta}\right) I(x_{(1)} \geq \theta)

Tüm

x_i

değerlerinin

\theta

'dan büyük veya eşit olması, yalnızca en küçük değerin (minimumun)

\theta

'dan büyük veya eşit olması ile aynı anlama gelir.

4

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni (

L(\theta|\mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

) uygulayın.

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i}{\theta}\right) I(x_{(1)} \geq \theta)

ve

h(\mathbf{x}) = e^n

g

fonksiyonu içinde

\theta

parametresi ile ilişkili olan örneklem istatistikleri doğrudan yeterli istatistiği (sufficient statistic) verir.

5

g(T(\mathbf{x}), \theta)

fonksiyonundaki istatistikleri tespit edin.

Fonksiyonda

\sum x_i

ve

x_{(1)}

terimleri yer aldığından yeterli istatistik

T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(1)} \right)

olarak bulunur.

Parametre boyutunun

1

olmasına rağmen, parametrenin hem konum hem ölçek belirlediği bu tip dağılımlarda minimal yeterli istatistik

2

boyutlu bir vektör olabilir.

Key Concept

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Question 19Question →

Bir malzeme mühendisi, yeni üretilen kompozit bir malzemenin kırılma gerilimini (MPa cinsinden) incelemektedir. Kırılma gerilimini temsil eden $X$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere,

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{\theta} e^{-\frac{x^2}{\theta}}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

şeklinde modellenmiştir.

Bu malzemeden rastgele seçilen $n$ birimlik $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız örneklemi temel alındığında, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n X_i

\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

\sum_{i=1}^n X_i^2

\prod_{i=1}^n X_i

\max(X_1, X_2, \dots, X_n)

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n X_i^2$

Answer

\sum_{i=1}^n X_i^2

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

formunda yazılabilmelidir. Verilen dağılım için olabilirlik fonksiyonu oluşturulup düzenlendiğinde, üstel ifadenin içinde

\sum_{i=1}^n X_i^2

terimi ortaya çıkar ve parametre olan

\theta

'ya bağlı bileşen yalnızca bu toplam üzerinden örneklem değerlerine bağımlıdır. Çarpanlarına ayrılmış fonksiyonda, parametre bağımlılığını taşıyan tek örneklem fonksiyonu budur; bu nedenle yeterli istatistik

\sum_{i=1}^n X_i^2

olur.

Step-by-Step Solution

1

n

çaplı bağımsız örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olan olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturmak.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{2x_i}{\theta} e^{-\frac{x_i^2}{\theta}} \right)

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, yeterli istatistiğin doğrudan olabilirlik fonksiyonunun yapısından elde edilmesine dayanır.

2

Olabilirlik fonksiyonundaki çarpım işlemlerini düzenleyerek terimleri gruplandırmak.

L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{2^n}{\theta^n} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i^2}

Fonksiyonu, sadece gözlemlere bağlı olan bir kısım ile hem parametreyi hem de örneklem istatistiğini içeren diğer bir kısım olarak iki çarpan halinde yazmak gereklidir.

3

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'nin

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

formunu uygulayarak

T(\mathbf{x})

yeterli istatistiğini belirlemek.

Burada

h(\mathbf{x}) = 2^n \prod_{i=1}^n x_i

(sadece örnekleme bağlı) ve

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i^2}

olarak ayrılır. Parametre

\theta

'ya bağlı kısımdaki örneklem fonksiyonu

T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i^2

'dir.

Teoreme göre, parametreyi barındıran çarpan

g(T(\mathbf{x}), \theta)

formunda olmalıdır. Bu durum,

T(\mathbf{x})

istatistiğinin yeterli olduğunu kanıtlar.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanılarak bir parametre için yeterli (sufficient) istatistiğin bulunması

Alternative Method

Olabilirlik fonksiyonunun doğrudan doğal logaritmasını alarak log-olabilirlik (

ln L

) fonksiyonunu oluşturmak ve bu fonksiyonun parametreye (

\theta

) bağlı olan terimlerindeki istatistiği incelemek de (Çarpanlara Ayırma Teoremi'nin logaritmik formu) aynı yeterli istatistiği verecektir.

Estimated Time:1m 30s

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method