Examkin

Question

Difficulty: MediumTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi
Bir finansal risk analisti, belirli bir hisse senedi portföyünün günlük getiri oranlarının standardize edilmiş değerlerini analiz etmektedir. Bu değerlerin X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı bir rastgele örneklem oluşturduğu ve olasılık yoğunluk fonksiyonunun
f(x;θ)={θxθ−1,0<x<10,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta - 1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
ile verildiği varsayılmaktadır. Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Factorization Theorem) kullanıldığında θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_iAnswer
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  3. C
    X(n)X_{(n)}
  4. D
    X(1)X_{(1)}
  5. E
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2

Answer

∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_i ifadesi Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre yeterli bir istatistiktir.
Olabilirlik fonksiyonu düzenlendiğinde L(θ)=θn(∏i=1nxi)θ−1L(\theta) = \theta^n (\prod_{i=1}^n x_i)^{\theta - 1} şeklinde elde edilir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre bu eşitlik, parametreyi barındıran g(T,θ)=θn(∏i=1nxi)θg(T, \theta) = \theta^n (\prod_{i=1}^n x_i)^{\theta} fonksiyonu ve parametreden bağımsız h(x)=(∏i=1nxi)−1h(x) = (\prod_{i=1}^n x_i)^{-1} fonksiyonu olarak iki çarpan halinde ayrıştırılabilir. Parametre θ\theta, gözlem değerlerine sadece ∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_i istatistiği vasıtasıyla bağlandığı için bu ifade yeterli bir istatistiktir.

Step-by-Step Solution

1
Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu kurun.
L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=∏i=1n(θxiθ−1)L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^n (\theta x_i^{\theta - 1})
Örneklem birimleri birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı olduğu için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, marjinal fonksiyonların çarpımına eşittir.
2
Çarpım işlemini düzenleyin.
L(θ)=θn(∏i=1nxi)θ−1L(\theta) = \theta^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\theta - 1}
Sabit θ\theta terimi nn kez çarpılarak başa alınır, tabanları aynı olan xix_i terimlerinin üsleri ortak kuvvette toplanır.
3
İfadeyi Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi yapısına (g(t,θ)⋅h(x)g(t, \theta) \cdot h(x)) uygun şekilde dönüştürün.
L(θ)=[θn(∏i=1nxi)θ]⋅[(∏i=1nxi)−1]L(\theta) = \left[ \theta^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\theta} \right] \cdot \left[ \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-1} \right]
Teoreme göre, olabilirlik fonksiyonu yalnızca parametre ve istatistiğe bağlı gg fonksiyonu ile yalnızca gözlemlere bağlı hh fonksiyonunun çarpımı olarak yazılmalıdır.
4
Yeterli istatistiği (T(X)T(X)) belirleyin.
T(X)=∏i=1nXiT(X) = \prod_{i=1}^n X_i
θ\theta parametresi ile birlikte çalışan gg fonksiyonunun içindeki veriye bağlı terim, rastgele değişkenlerin çarpımıdır.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Factorization Theorem)
Rate this question

Topics

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

More questions from this topic