X ve Y sürekli rastgele değişkenler olup U = \frac{X}{Y} oran değişkeninin dağılımı araştı… — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenler olup $U = \frac{X}{Y}$ oran değişkeninin dağılımı araştırılmaktadır. Bu amaçla $U = \frac{X}{Y}$ ve $V = X$ yardımcı değişken dönüşümü yapılmıştır. Ters dönüşümler $x = v$ ve $y = \frac{v}{u}$ olarak elde edildiğine göre, bu dönüşümün **Jacobian determinantı ( $J$ )** aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{v}{u}$
$\frac{v}{u^2}$ Answer
C
$\frac{u^2}{v}$
D
$\frac{1}{u}$
E
1

Answer

Dönüşüme ait Jacobian determinantı

\frac{v}{u^2}

olarak hesaplanır.

Doğru cevap, ters dönüşüm fonksiyonlarının (

x=v

y=v/u

) yeni değişkenlere göre kısmi türevlerinin alınması ve elde edilen matrisin determinantının hesaplanmasıyla bulunur. İşlem sonucunda

0 - (-v/u^2) = v/u^2

değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

Ters dönüşüm denklemlerini kullanarak kısmi türevleri hesaplayın.

x = v

için:

\frac{\partial x}{\partial u} = 0

\frac{\partial x}{\partial v} = 1

;

y = \frac{v}{u}

için:

\frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{v}{u^2}

\frac{\partial y}{\partial v} = \frac{1}{u}

Jacobian matrisini oluşturmak için her bir orijinal değişkenin (

x, y

) yeni değişkenlere (

u, v

) göre değişim oranları gereklidir.

Hesaplanan türevleri Jacobian matrisine yerleştirin.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{v}{u^2} & \frac{1}{u} \end{vmatrix}

Matris yapısı, değişken dönüşümündeki alan değişim oranını temsil eder.

Matrisin determinantını hesaplayın.

J = (0) \times (\frac{1}{u}) - (1) \times (-\frac{v}{u^2}) = 0 + \frac{v}{u^2} = \frac{v}{u^2}

2 \times 2

bir matrisin determinantı

ad - bc

formülü ile bulunur.

Key Concept

İki değişkenli sürekli rastgele değişken dönüşümlerinde, olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) taşınması için Jacobian determinantının kullanılması esastır.

Hints

Jacobian matrisini oluşturmak için

x

y

'nin

u

v

'ye göre kısmi türevlerini içeren

2 \times 2

bir matris kurun.

y = v/u

ifadesinin

u

'ya göre türevini alırken

\frac{d}{du}(u^{-1}) = -u^{-2}

kuralını hatırlayın.

Practice More

Eğer

X

Y

bağımsız standart normal dağılıma sahip olsaydı, bu Jacobian'ı kullanarak

U = X/Y

oranının Cauchy dağılımına sahip olduğunu ispatlayabilirdiniz.

Alternative Method

Önce

x

y

'yi

u

v

cinsinden tam diferansiyel formunda yazıp (

dx = 0 \cdot du + 1 \cdot dv

), (

dy = -v/u^2 \cdot du + 1/u \cdot dv

) katsayılar matrisinden de gidebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question