Bir sistemin iki farklı bileşeninin çalışma sürelerini temsil eden X ve Y sürekli rastgele… — KPSS İstatistik

Bir sistemin iki farklı bileşeninin çalışma sürelerini temsil eden $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x,y) = \begin{cases} 3x, & 0 < y < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ , $0 < y < 1$ aralığı için aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{3}{2}(1 - y^2)$ Answer
B
$3y^2$
C
$\frac{3}{2}y^2$
D
$\frac{3}{2}$
E
$3y(1 - y)$

Answer

\frac{3}{2}(1 - y^2)

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun

x

üzerinden integrali alınmalıdır.

0 < y < x < 1

eşitsizliğinden, belirli bir

y

değeri için

x

'in alt sınırı

y

, üst sınırı ise

1

'dir. Bu nedenle

\int_{y}^{1} 3x \, dx

işlemi yapılarak

\frac{3}{2}(1 - y^2)

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Y

'nin marjinal dağılımını bulmak için integrasyon değişkenini ve sınırlarını belirleme

İntegral

x

değişkenine göre alınmalıdır. Eşitsizlikten (

0 < y < x < 1

), sabit bir

y

değeri için

x

'in sınırları alt sınır

y

ve üst sınır

1

olacak şekilde belirlenir.

Y

'nin marjinal yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y)

, ortak yoğunluk fonksiyonunun tüm

x

değerleri üzerinden integrali alınarak bulunur.

Belirlenen sınırlar ile integrali hesaplama

f_Y(y) = \int_{y}^{1} 3x \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_{y}^{1}

Sürekli rastgele değişkenler için marjinal olasılık fonksiyonu tanımının uygulanması.

İntegral sonucunu değerlendirme

f_Y(y) = \frac{3(1)^2}{2} - \frac{3(y)^2}{2} = \frac{3}{2}(1 - y^2)

Sınır değerlerinin yerine konularak cebirsel ifadenin sadeleştirilmesi.

Key Concept

Sürekli çok değişkenli dağılımlarda ortak yoğunluk fonksiyonundan tek değişkene göre integral alarak marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun elde edilmesi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics