\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \end{bmatrix} rastgele vektörü, iki değişkenli nor… — KPSS İstatistik

$\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \end{bmatrix}$ rastgele vektörü, iki değişkenli normal dağılıma sahiptir. Bu dağılıma ait ortalama vektörü $\boldsymbol{\mu}$ ve varyans-kovaryans matrisi $\boldsymbol{\Sigma}$ aşağıda verilmiştir:

\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Buna göre, $X_2 = 3$ olduğu bilindiğinde $X_1$ rastgele değişkeninin koşullu dağılımı ( $X_1 | X_2 = 3$ ) aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: Seçeneklerde $N(\mu; \sigma^2)$ gösterimi kullanılmıştır.)

$N(4{}5; 6{}75)$ Answer
B
$N(4{}5; 8)$
C
$N(3; 9)$
D
$N(5{}25; 6{}75)$
E
$N(4{}5; 9)$

Answer

Ortalaması 4,5 ve varyansı 6,75 olan N(4,5; 6,75) dağılımı

İki değişkenli normal dağılımda

X_1

'in

X_2

'ye göre koşullu dağılımı da normal dağılımdır. Koşullu beklenen değer formülü

E(X_1|X_2=x_2) = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}(x_2 - \mu_2)

ve koşullu varyans formülü

Var(X_1|X_2=x_2) = \sigma_{11} - \frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{22}}

kullanıldığında ortalama 4,5 ve varyans 6,75 olarak doğru şekilde bulunur.

Step-by-Step Solution

Matrislerden gerekli parametreleri belirleme

\mu_1 = 3

\mu_2 = 1

\sigma_{11} = 9

\sigma_{22} = 4

\sigma_{12} = 3

bulunur.

Koşullu dağılım formüllerini uygulamak için marjinal ortalama, varyans ve kovaryans değerlerine ihtiyaç vardır.

Koşullu beklenen değeri hesaplama

E(X_1 | X_2 = 3) = 3 + \frac{3}{4}(3 - 1) = 3 + \frac{6}{4} = 4{}5

elde edilir.

İki değişkenli normal dağılımda

E(X_1 | X_2 = x_2) = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}(x_2 - \mu_2)

formülü geçerlidir.

Koşullu varyansı hesaplama

Var(X_1 | X_2 = 3) = 9 - \frac{3^2}{4} = 9 - 2{}25 = 6{}75

elde edilir.

İki değişkenli normal dağılımda koşullu varyans

Var(X_1 | X_2 = x_2) = \sigma_{11} - \frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{22}}

formülü ile hesaplanır.

Sonucu birleştirme

Dağılım parametreleri yerine konarak

N(4{}5; 6{}75)

olarak belirlenir.

Normal dağılımın parametreleri ortalama ve varyans olduğu için elde edilen değerler ilgili alanlara yazılır.

Key Concept

İki Değişkenli Normal Dağılımda Koşullu Dağılım

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics