Examkin

Question

Difficulty: MediumÇok Değişkenli Normal Dağılım

Bir psikometrik araştırmada, bireylerin sözel (XX), sayısal (YY) ve soyut düşünme (ZZ) beceri puanları ortak çok değişkenli normal dağılıma sahiptir. Yapılan analiz sonucunda bu puanların beklenen değerleri sırasıyla 60, 50 ve 55 olarak bulunmuştur. Değişkenlerin varyansları sırasıyla Var(X)=100Var(X)=100, Var(Y)=64Var(Y)=64, Var(Z)=81Var(Z)=81 ve aralarındaki kovaryans değerleri Cov(X,Y)=40Cov(X,Y)=40, Cov(X,Z)=20Cov(X,Z)=20, Cov(Y,Z)=16Cov(Y,Z)=16 olarak elde edilmiştir.

Bireylerin genel yetenek puanı G=X+2Y−ZG = X + 2Y - Z doğrusal kombinasyonu ile tanımlandığına göre, GG rastgele değişkeninin varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    397
  2. B
    437
  3. C
    465
  4. 493Answer
  5. E
    701

Answer

493
Verilen G=X+2Y−ZG = X + 2Y - Z doğrusal kombinasyonu için varyans Var(G)=a2Var(X)+b2Var(Y)+c2Var(Z)+2abCov(X,Y)+2acCov(X,Z)+2bcCov(Y,Z)Var(G) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + c^2Var(Z) + 2abCov(X,Y) + 2acCov(X,Z) + 2bcCov(Y,Z) genel formülü ile bulunur. Burada a=1a=1, b=2b=2 ve c=−1c=-1 değerleri ve soruda verilen istatistikler yerine konduğunda: Var(G)=12(100)+22(64)+(−1)2(81)+2(1)(2)(40)+2(1)(−1)(20)+2(2)(−1)(16)Var(G) = 1^2(100) + 2^2(64) + (-1)^2(81) + 2(1)(2)(40) + 2(1)(-1)(20) + 2(2)(-1)(16) denklemi elde edilir. Bu işlem çözüldüğünde 100+256+81+160−40−64=437+56=493100 + 256 + 81 + 160 - 40 - 64 = 437 + 56 = 493 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Doğrusal kombinasyonun varyans formülünün yazılması.
Var(aX+bY+cZ)=a2Var(X)+b2Var(Y)+c2Var(Z)+2abCov(X,Y)+2acCov(X,Z)+2bcCov(Y,Z)Var(aX + bY + cZ) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + c^2Var(Z) + 2abCov(X,Y) + 2acCov(X,Z) + 2bcCov(Y,Z) eşitliği tanımlanır.
Çok değişkenli dağılımlarda birden fazla rastgele değişkenin doğrusal kombinasyonunun varyansı, değişkenlerin kendi varyansları ile aralarındaki kovaryansların ağırlıklı toplamına eşittir.
2
G fonksiyonundaki katsayıların belirlenerek formüle uyarlanması.
G=X+2Y−ZG = X + 2Y - Z için katsayılar a=1a=1, b=2b=2, c=−1c=-1 şeklindedir. Formül: Var(G)=12Var(X)+22Var(Y)+(−1)2Var(Z)+2(1)(2)Cov(X,Y)+2(1)(−1)Cov(X,Z)+2(2)(−1)Cov(Y,Z)Var(G) = 1^2Var(X) + 2^2Var(Y) + (-1)^2Var(Z) + 2(1)(2)Cov(X,Y) + 2(1)(-1)Cov(X,Z) + 2(2)(-1)Cov(Y,Z) olur.
Varyans hesabında katsayıların karesi alınırken, kovaryans hesabında katsayıların kendileri doğrudan birbirleriyle ve 2 ile çarpılır.
3
Sayısal değerlerin formülde yerine konulup hesaplanması.
Var(G)=100+4(64)+1(81)+4(40)−2(20)−4(16)Var(G) = 100 + 4(64) + 1(81) + 4(40) - 2(20) - 4(16) işlemi yapılır.
Soruda verilen varyans ve kovaryans değerleri açık formüldeki yerlerine yerleştirilir.
4
Matematiksel işlemlerin tamamlanması.
Var(G)=100+256+81+160−40−64=437+56=493Var(G) = 100 + 256 + 81 + 160 - 40 - 64 = 437 + 56 = 493 sonucuna ulaşılır.
Doğrusal kombinasyonun toplam varyansı nihai olarak hesaplanmış olur.

Key Concept

Çok değişkenli normal dağılımda doğrusal kombinasyonların varyansı
Rate this question

Topics

Çok Değişkenli Normal Dağılım