Examkin

Question

Difficulty: EasyÇok Değişkenli Normal Dağılım

Bir istatistiksel analizde kullanılan X=(X1,X2,…,Xp)T\mathbf{X} = (X_1, X_2, \dots, X_p)^T rastgele vektörünün çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Bu rastgele vektörü oluşturan X1,X2,…,XpX_1, X_2, \dots, X_p bileşenlerinin birbirlerinden istatistiksel olarak bağımsız olduğu varsayıldığında, bu dağılıma ait varyans-kovaryans matrisinin (Σ)(\boldsymbol{\Sigma}) yapısı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    Birim matris
  2. Köşegen matrisAnswer
  3. C
    Alt üçgen matris
  4. D
    Tekil (singular) matris
  5. E
    Ortogonal matris

Answer

Varyans-kovaryans matrisinin yapısı köşegen matristir.
Çok değişkenli normal dağılımda, rastgele vektörün bileşenleri bağımsız ise bu bileşenler arasındaki tüm ikili kovaryanslar sıfır olur. Varyans-kovaryans matrisinde köşegen dışı elemanlar kovaryansları gösterdiğinden, bu elemanların tamamı sıfır olur. Sadece ana köşegen üzerindeki varyanslar sıfırdan farklı kalacağı için matris bir köşegen matris yapısına bürünür.

Step-by-Step Solution

1
Bağımsızlık varsayımının analiz edilmesi
Cov(Xi,Xj)=0Cov(X_i, X_j) = 0 (i≠ji \neq j için)
İstatistiksel olarak bağımsız rastgele değişkenler arasındaki kovaryans her zaman sıfırdır.
2
Varyans-kovaryans matrisinin (Σ)(\boldsymbol{\Sigma}) tanımının uygulanması
(Σ)ij=0(\boldsymbol{\Sigma})_{ij} = 0 (i≠ji \neq j)
Matrisin köşegen dışı elemanları kovaryansları temsil eder ve bağımsızlık gereği bu değerler sıfıra eşittir.
3
Matris formunun belirlenmesi
Köşegen matris
Yalnızca köşegen üzerindeki elemanları (varyansları) sıfırdan farklı, diğer tüm elemanları sıfır olan matrislere köşegen matris denir.

Key Concept

Çok değişkenli normal dağılımda bağımsızlık ve varyans-kovaryans matrisi ilişkisi

Hints

1
Rastgele değişkenler bağımsız olduğunda aralarındaki kovaryans değerinin ne olduğunu hatırlayın.
2
Matrisin köşegen dışı elemanları kovaryansları temsil eder. Bağımsızlık durumunda bu değerler sıfıra eşittir.

Practice More

Varyansların hepsinin eşit olduğu özel bir köşegen matris durumunun (küresel dağılım) sonuçlarını inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Çok Değişkenli Normal Dağılım