Bir rüzgâr enerjisi santralinin günlük kapasite kullanım oranı, sürekli bir X rastgele değ… — KPSS İstatistik

Bir rüzgâr enerjisi santralinin günlük kapasite kullanım oranı, sürekli bir $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} k(x - x^3), & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, rastgele seçilen bir günde bu santralin kapasitesinin yarısından fazlasını kullanma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{7}{16}$
B
$\frac{9}{64}$
$\frac{9}{16}$ Answer
D
$\frac{3}{8}$
E
$\frac{3}{16}$

Answer

Rastgele seçilen bir günde bu santralin kapasitesinin yarısından fazlasını kullanma olasılığı

\frac{9}{16}

'dır.

Sürekli bir rastgele değişken için olasılık hesabı, olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) istenen aralıkta integralinin alınmasıyla bulunur. Öncelikle PDF'nin tüm aralıktaki integralinin 1 olması kuralından yararlanarak

k=4

sabiti bulunur. Daha sonra kapasitenin yarısından fazlasının kullanıldığı durum

X > 0.5

olduğundan,

f(x) = 4(x - x^3)

fonksiyonunun

0.5

ile

1

(değişkenin üst sınırı) aralığındaki integrali hesaplanarak doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun özelliğini kullanarak

k

sabitini belirlemek.

\int_{0}^{1} k(x - x^3) dx = 1

Geçerli bir sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu tüm aralıktaki integrali (toplam olasılık alanı) daima 1'e eşit olmalıdır.

İntegrali çözerek

k

'nın sayısal değerini bulmak.

k \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = k \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = k \left( \frac{1}{4} \right) = 1 \implies k = 4

Bilinmeyen katsayıyı bularak gerçek olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde etmek gereklidir.

Santralin kapasitesinin yarısından fazlasını kullanma olasılığı olan

P(X > 0.5)

durumunu matematiksel olarak ifade etmek.

P(X > 0.5) = \int_{0.5}^{1} 4(x - x^3) dx

Değişkenin %50'den (0.5) büyük olduğu durumların olasılığı, fonksiyonun

0.5

ile üst sınır olan

1

arasındaki belirli integraline eşittir.

İstenen aralıktaki belirli integrali hesaplayarak sonuca ulaşmak.

4 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0.5}^{1} = 4 \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - \left( \frac{(0.5)^2}{2} - \frac{(0.5)^4}{4} \right) \right]

Elde edilen gerçek yoğunluk fonksiyonunun ilgili alt ve üst sınırlar içindeki alanını bulmak için belirli integral işlemi tamamlanır.

Cebirsel işlemleri tamamlayarak nihai kesri elde etmek.

4 \left[ \frac{1}{4} - \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{64} \right) \right] = 4 \left[ \frac{16}{64} - \frac{7}{64} \right] = 4 \left( \frac{9}{64} \right) = \frac{9}{16}

Kesirli işlemlerin tamamlanması, aranan net olasılık değerini verir.

Key Concept

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Özellikleri ve İntegral ile Olasılık Hesabı

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic