Bir elektronik cihazın (yıl cinsinden) arızalanma süresini modelleyen T sürekli rastgele d… — KPSS İstatistik

Bir elektronik cihazın (yıl cinsinden) arızalanma süresini modelleyen $T$ sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(t) = \begin{cases} k \sqrt{t}, & 0 \leq t \leq 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, bu cihazın en az 1 yıl arızalanmadan çalışma olasılığı kaçtır?

A
$\frac{1}{8}$
B
$\frac{3}{16}$
C
$\frac{7}{12}$
$\frac{7}{8}$ Answer
E
$\frac{13}{16}$

Answer

İstenilen olasılık

\frac{7}{8}

'dir.

Sürekli bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) en temel özelliği

\int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt = 1

olmasıdır. Fonksiyon

[0, 4]

aralığında tanımlı olduğu için öncelikle

\int_{0}^{4} k\sqrt{t} dt = 1

denklemi çözülerek

k = \frac{3}{16}

bulunur. Cihazın 'en az 1 yıl' arızalanmaması durumu

P(T \geq 1)

olasılığına karşılık gelir. Dağılımın tanımlı olduğu üst sınır 4 olduğundan, bu olasılık

\int_{1}^{4} \frac{3}{16}\sqrt{t} dt

integrali hesaplanarak bulunur.

\frac{3}{16} \cdot \frac{2}{3} [t^{3/2}]_1^4 = \frac{1}{8}(8 - 1) = \frac{7}{8}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun tüm uzaydaki integralini 1'e eşitleyerek

k

sabitini bulunuz.

\int_{0}^{4} k t^{1/2} dt = k \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_{0}^{4} = k \left( \frac{2}{3} \cdot 8 \right) = \frac{16k}{3} = 1 \implies k = \frac{3}{16}

Bir fonksiyonun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) olabilmesi için tanımlı olduğu aralıktaki toplam alanının (integralinin) 1 olması gerekir.

Elde edilen

k

değerini yerine koyarak, istenen durum için integrali hesaplayınız. Cihazın 'en az 1 yıl' çalışması,

T \geq 1

demektir. Dağılımın üst sınırı 4 olduğundan integral [1, 4] aralığında alınmalıdır.

P(T \geq 1) = \int_{1}^{4} \frac{3}{16} t^{1/2} dt = \frac{3}{16} \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_{1}^{4}

Sürekli rastgele değişkenlerde belirli bir aralığa düşme olasılığı, PDF fonksiyonunun o aralıktaki belirli integrali hesaplanarak bulunur.

İntegral sınırlarını formülde yerine koyarak matematiksel sonucu elde ediniz.

P(T \geq 1) = \frac{3}{16} \cdot \frac{2}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{1}{8} (8 - 1) = \frac{7}{8}

Belirli integralin sınırları olan 4 ve 1 değerlerini fonksiyona yerleştirip farkı aldığımızda kesin olasılık değerine ulaşılır.

Key Concept

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Yoğunluk Fonksiyonu Özellikleri ve Olasılık Hesabı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics