Examkin

Question

Difficulty: MediumSürekli Rastgele Değişkenler ve Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Bir kamu bankası tarafından KOBİ'lere sağlanan özel bir kredi paketinin (milyon TL cinsinden) firma başına kullanım miktarı XX sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x)={k(2x−x2),0<x<20,dig˘er durumlardaf(x) = \begin{cases} k(2x - x^2), & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, rastgele seçilen bir KOBİ'nin bu kredi paketinden 500 bin TL'den (0.5 milyon TL) daha az kredi kullanmış olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 532\frac{5}{32}Answer
  2. B
    524\frac{5}{24}
  3. C
    518\frac{5}{18}
  4. D
    916\frac{9}{16}
  5. E
    2732\frac{27}{32}

Answer

532\frac{5}{32}
Geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun eksi sonsuzdan artı sonsuza integrali 11'dir. Tanım aralığı olan (0,2)(0, 2) için integral alındığında ∫02k(2x−x2)dx=1\int_{0}^{2} k(2x - x^2) dx = 1 eşitliğinden k=34k = \frac{3}{4} olarak bulunur. Bizden istenen 0.50.5 milyon TL'den az kullanım olasılığı olduğundan, ∫00.534(2x−x2)dx\int_{0}^{0.5} \frac{3}{4} (2x - x^2) dx integrali hesaplanmalıdır. Sınırlar yerine konulduğunda sonuç 532\frac{5}{32} değerine ulaşır.

Step-by-Step Solution

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun toplam alanının 11 olması kuralını kullanarak kk sabiti hesaplanır.
∫02k(2x−x2)dx=k[x2−x33]02=k(4−83)=k(43)=1  ⟹  k=34\int_{0}^{2} k(2x - x^2) dx = k \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = k \left( 4 - \frac{8}{3} \right) = k \left( \frac{4}{3} \right) = 1 \implies k = \frac{3}{4}
Geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) tüm tanım aralığındaki integrali daima 1'e eşit olmalıdır.
2
Kredi kullanımının 500500 bin TL'den (0.50.5 milyon TL veya 1/21/2 milyon TL) az olma olasılığını bulmak için istenen aralıkta integral formülü kurulur.
P(X<0.5)=∫01/234(2x−x2)dxP(X < 0.5) = \int_{0}^{1/2} \frac{3}{4} (2x - x^2) dx
Sürekli bir rastgele değişkenin belirli bir değerden küçük olma olasılığı, o noktaya kadar olan eğri altındaki alanın hesaplanmasıyla bulunur.
3
Belirli integral hesaplanarak nihai olasılık değeri bulunur.
34[x2−x33]01/2=34((12)2−(1/2)33)=34(14−124)=34(624−124)=34⋅524=1596=532\frac{3}{4} \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1/2} = \frac{3}{4} \left( \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{(1/2)^3}{3} \right) = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{24} \right) = \frac{3}{4} \left( \frac{6}{24} - \frac{1}{24} \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{24} = \frac{15}{96} = \frac{5}{32}
Belirli integral sınırları yerine konulup matematiksel işlemler tamamlanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Olasılık Hesaplaması
Rate this question

Topics

Sürekli Rastgele Değişkenler ve Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

More questions from this topic