Examkin

Question

Difficulty: MediumPivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bir biyolog, belirli bir bakteri kültürünün hayatta kalma oranlarını (00 ile 11 arasında bir değer) incelemektedir. Bu oranların olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilen dağılıma uyduğu bilinmektedir:

f(x;θ)=θxθ−1,0<x<1,θ>0f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1}, \quad 0 < x < 1, \quad \theta > 0

Biyolog, birbirinden bağımsız nn farklı kültürden elde edilen X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n rastgele örneklemini kullanarak θ\theta parametresi için bir güven aralığı oluşturmak istemektedir.

Buna göre, bu güven aralığını elde etmek için kullanılabilecek tam (exact) pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Q=−2θ∑i=1nln⁡(Xi)Q = -2\theta \sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)Answer
  2. B
    Q=−2θ∑i=1nln⁡(Xi)Q = -\frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)
  3. C
    Q=−2θ∑i=1nXiQ = -2\theta \sum_{i=1}^{n} X_i
  4. D
    Q=Xˉ−θS/nQ = \frac{\bar{X} - \theta}{S / \sqrt{n}}
  5. E
    Q=2θ∑i=1nXi2Q = \frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i^2

Answer

Doğru eksen (pivot) fonksiyonu Q=−2θ∑i=1nln⁡(Xi)Q = -2\theta \sum_{i=1}^{n} \ln(X_i) ifadesidir.
Bir fonksiyonun pivot olabilmesi için dağılımının bilinmeyen parametreden (burada θ\theta) bağımsız olması gerekir. Sorudaki XX değişkeninin yoğunluk fonksiyonu incelendiğinde, Y=−ln⁡(X)Y = -\ln(X) dönüşümü yapıldığında Y∼U¨stel(θ)Y \sim \text{Üstel}(\theta) dağılımına ulaşılır. Bu dağılımı θ\theta'dan kurtarmak için θ\theta ile çarparız: θY=−θln⁡(X)∼U¨stel(1)\theta Y = -\theta \ln(X) \sim \text{Üstel}(1). İstatistik biliminde bilindiği üzere, U¨stel(1)\text{Üstel}(1) dağılımı 2 ile çarpıldığında 2 serbestlik dereceli Ki-kare (χ22\chi^2_2) dağılımına dönüşür. Dolayısıyla her bir gözlem için −2θln⁡(Xi)∼χ22-2\theta \ln(X_i) \sim \chi^2_2 olur. Bağımsız nn adet gözlemin toplamı da 2n2n serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına (χ2n2\chi^2_{2n}) uyar. Bulunan −2θ∑i=1nln⁡(Xi)-2\theta \sum_{i=1}^{n} \ln(X_i) ifadesinin dağılımı θ\theta'dan tamamen bağımsız olduğu için tam (exact) bir pivot fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen dağılım için uygun bir değişken dönüşümü araştırmak.
Y=−ln⁡(X)Y = -\ln(X) dönüşümü yapılırsa, YY'nin dağılımının U¨stel(θ)\text{Üstel}(\theta) olduğu görülür.
Pivot fonksiyonu elde edebilmek için dağılımı bilinen ve parametreleri ayrıştırılabilen standart bir dağılıma geçiş yapmak gerekir.
2
YY değişkeninin dağılımını parametreden (θ\theta) bağımsız hale getirmek.
W=θY=−θln⁡(X)W = \theta Y = -\theta \ln(X) değişkeninin dağılımı U¨stel(1)\text{Üstel}(1) olur. Bu dağılım θ\theta'dan bağımsızdır.
Pivot fonksiyonunun en temel özelliği, dağılımının bilinmeyen parametreyi içermemesidir.
3
Örneklemdeki nn adet gözlemin toplamı üzerinden bilinen bir örneklem istatistiği oluşturmak.
Wi∼U¨stel(1)W_i \sim \text{Üstel}(1) ise 2Wi∼χ222W_i \sim \chi^2_2 dağılımına uyar. nn adet bağımsız gözlemin toplamı olan ∑i=1n2Wi=−2θ∑i=1nln⁡(Xi)\sum_{i=1}^n 2W_i = -2\theta \sum_{i=1}^n \ln(X_i), 2n2n serbestlik dereceli Ki-kare (χ2n2\chi^2_{2n}) dağılımına sahip olur.
Güven aralığı oluşturulurken genellikle Ki-kare gibi tabloları bulunan standart dağılımlar kullanıldığından, ifadeyi Ki-kareye dönüştürmek amaçlanır.

Key Concept

Pivot (Eksen) Fonksiyonunun Tanımı ve Değişken Dönüşümü
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

More questions from this topic