Examkin

Question

Difficulty: HardTek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

Bir kamu kurumunun Ar-Ge laboratuvarında, satın alınacak yeni nesil ölçüm cihazlarının kalibrasyon hataları incelenmektedir. Cihazların ölçüm hatalarının normal dağılıma uyduğu varsayılmaktadır. Rastgele seçilen 1616 cihaz ile yapılan testler sonucunda elde edilen veriler kullanılarak, ölçüm hatalarının kitle varyansı (σ2\sigma^2) tahmin edilmek isteniyor.

Araştırmacı, yansız olmayan (biased) en çok olabilirlik tahmin edicisini kullanarak örneklem varyansını σ^2=1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2=30\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 = 30 olarak hesaplamıştır.

Buna göre, kitle varyansı σ2\sigma^2 için %90\%90 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Kritik değerler: χ0.05;152=25.00\chi^2_{0.05; 15} = 25.00, χ0.95;152=7.26\chi^2_{0.95; 15} = 7.26, χ0.05;162=26.30\chi^2_{0.05; 16} = 26.30, χ0.95;162=7.96\chi^2_{0.95; 16} = 7.96)

  1. [19.20, 66.12][19.20, \, 66.12]Answer
  2. B
    [18.00, 61.98][18.00, \, 61.98]
  3. C
    [18.25, 60.30][18.25, \, 60.30]
  4. D
    [66.12, 19.20][66.12, \, 19.20]
  5. E
    [1.28, 4.41][1.28, \, 4.41]

Answer

Doğru aralık, kareler toplamının Ki-kare kritik değerlerine uygun şekilde bölünmesiyle elde edilen [19.20, 66.12][19.20, \, 66.12] aralığıdır.
Kitle varyansı güven aralığının temel formülü [(n−1)S2χα/2;n−12,(n−1)S2χ1−α/2;n−12]\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right] şeklindedir. Pay kısmı kareler toplamına eşittir ve sorudaki verilerden ∑(Xi−Xˉ)2=16×30=480\sum(X_i - \bar{X})^2 = 16 \times 30 = 480 olarak bulunur. Serbestlik derecesi 16−1=1516-1=15'tir. Formülde alt sınır için büyük Ki-kare değeri (25.0025.00), üst sınır için küçük Ki-kare değeri (7.267.26) paydaya yazıldığında [48025.00,4807.26]=[19.20,66.12]\left[ \frac{480}{25.00}, \frac{480}{7.26} \right] = [19.20, 66.12] aralığı doğru bir şekilde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Örneklem çapını ve güven düzeyini belirle.
n=16n = 16, %90\%90 güven düzeyi için α=0.10\alpha = 0.10 ve α/2=0.05\alpha/2 = 0.05 bulunur.
Serbestlik derecesi ve doğru Ki-kare kritik değerlerini tablodan seçebilmek için gereklidir.
2
Verilen yansız olmayan tahmin ediciden kareler toplamını (∑(Xi−Xˉ)2\sum (X_i - \bar{X})^2) hesapla.
∑(Xi−Xˉ)2=n⋅σ^2=16⋅30=480\sum (X_i - \bar{X})^2 = n \cdot \hat{\sigma}^2 = 16 \cdot 30 = 480 olarak bulunur.
Güven aralığı formülünün pay kısmı (n−1)S2(n-1)S^2 ifadesidir, bu da doğrudan kareler toplamına eşittir.
3
Serbestlik derecesini (df) ve ilgili Ki-kare değerlerini tespit et.
df=n−1=15df = n - 1 = 15. İlgili kritik değerler: χ0.05;152=25.00\chi^2_{0.05; 15} = 25.00 ve χ0.95;152=7.26\chi^2_{0.95; 15} = 7.26.
Varyans güven aralığında dağılım (n−1)(n-1) serbestlik dereceli Ki-kare dağılımıdır.
4
Güven aralığı alt ve üst sınırlarını hesapla.
Alt sınır: 48025.00=19.20\frac{480}{25.00} = 19.20. Üst sınır: 4807.26≈66.12\frac{480}{7.26} \approx 66.12. Aralık: [19.20, 66.12][19.20, \, 66.12].
Eşitsizlikte içler dışlar çarpımı yapıldığında büyük Ki-kare değeri alt sınırın paydasına, küçük Ki-kare değeri üst sınırın paydasına gelir.

Key Concept

Kitle varyansı güven aralığı hesaplanırken, (n−1)S2(n-1)S^2 ifadesinin aslında serinin kareler toplamı (∑(Xi−Xˉ)2\sum (X_i - \bar{X})^2) olduğu ve asimetrik Ki-kare dağılımı nedeniyle kritik değerlerin eşitsizlikte çapraz yerleştiği kavramı.
Rate this question

Topics

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı

More questions from this topic