Bölgesel bir kalkınma ajansında görevli bir istatistikçi, faaliyet gösteren işletmelerin y… — KPSS İstatistik

Bölgesel bir kalkınma ajansında görevli bir istatistikçi, faaliyet gösteren işletmelerin yıllık ortalama yenilikçilik (inovasyon) harcamalarını ( $y$ ) tahmin etmek için, bu işletmelerin yıllık brüt satış hasılatlarını ( $x$ ) yardımcı değişken olarak kullanmayı planlamaktadır. İstatistikçi, kitle ortalamasını tahmin ederken oran tahminleyicisinin ( $\bar{y}_R$ ), basit rastgele örnekleme altındaki klasik aritmetik ortalama tahminleyicisinden ( $\bar{y}$ ) asimptotik olarak daha etkin (daha küçük varyanslı) olmasını garanti altına almak istemektedir.

Yapılan geçmiş çalışmalardan, yardımcı değişkenin kitle değişim katsayısının ( $C_x$ ), ilgilenilen değişkenin kitle değişim katsayısına ( $C_y$ ) oranının $k$ (yani $k = \frac{C_x}{C_y}$ ) olduğu bilinmektedir.

Buna göre, istatistikçinin oran tahminleyicisini tercih ederek kesin bir varyans avantajı elde edebilmesi için, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasındaki kitle korelasyon katsayısının ( $\rho$ ) hangi teorik alt sınırı aşması gerekir?
(Varsayım: Her iki değişkenin de değerleri pozitiftir ve örneklem hacmi yeterince büyüktür.)

A
$\rho > 2k$
B
$\rho > \frac{1}{2k}$
$\rho > \frac{k}{2}$ Answer
D
$\rho > \frac{2}{k}$
E
$\rho > k$

Answer

\rho > \frac{k}{2}

eşitsizliğini veren seçenektir.

Oran tahminleyicisinin varyansının, basit ortalama tahminleyicisinin varyansından küçük olması için sağlanması gereken asimptotik koşul

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

eşitsizliğidir. Soruda verilen

k = \frac{C_x}{C_y}

eşitliği bu koşulda yerine konulduğunda, korelasyon katsayısının aşması gereken teorik alt sınır

\frac{k}{2}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

Basit ortalama tahminleyicisinin asimptotik varyansını formüle et.

V(\bar{y}) = \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 C_y^2

Kıyaslama yapabilmek için referans tahminleyicinin varyansına ihtiyaç vardır.

Oran tahminleyicisinin asimptotik varyansını formüle et.

V(\bar{y}_R) \approx \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 (C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_x C_y)

Etkinlik koşulunu bulmak için oran tahminleyicisinin varyans denklemi gereklidir.

Oran tahminleyicisinin daha etkin (varyansının daha küçük) olması koşulunu eşitsizlik olarak yaz ve sadeleştir.

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y}) \implies C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_x C_y < C_y^2 \implies C_x^2 < 2\rho C_x C_y

İki tahminleyicinin varyansları birbirine eşitsizlik ile bağlanarak

\rho

için sınır bulunur.

Eşitsizlikte her iki tarafı

2C_x C_y

ifadesine bölerek

\rho

'yu yalnız bırak.

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

Korelasyon katsayısının sağlaması gereken temel teorik alt sınırı elde etmek içindir.

Soruda verilen

k = \frac{C_x}{C_y}

eşitliğini temel koşul formülünde yerine koy.

\rho > \frac{1}{2} \left(\frac{C_x}{C_y}\right) \implies \rho > \frac{k}{2}

Soruda istenen formattaki kesin etkinlik koşuluna ulaşmak içindir.

Key Concept

Oran Tahminleyicisinin Etkinlik Koşulu

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic