Bir araştırmacı, başarı olasılığı p olan bir Bernoulli dağılımından X_1, X_2, \dots, X_n (… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, başarı olasılığı $p$ olan bir Bernoulli dağılımından $X_1, X_2, \dots, X_n$ ( $n > 1$ ) şeklinde $n$ çaplı bir rastgele örneklem çekmiştir. $p$ parametresini tahmin etmek için sadece ilk gözleme dayalı olan $T = X_1$ yansız tahmin edicisini tanımlamıştır. Ayrıca, $S = \sum_{i=1}^n X_i$ istatistiğinin $p$ için yeterli (sufficient) olduğu bilinmektedir.

Rao-Blackwell teoremi uyarınca, $T$ tahmin edicisi $S$ yeterli istatistiği verildiğinde koşullandırılarak $T^* = E[T|S]$ şeklinde yeni bir tahmin edici elde ediliyor.

Buna göre, Rao-Blackwell teoreminin sağladığı varyans iyileştirmesi miktarını veren $Var(T) - Var(T^*)$ farkı aşağıdakilerden hangisidir?

A
$p(1-p)$
B
$\frac{p(1-p)}{n}$
$\frac{(n-1)p(1-p)}{n}$ Answer
D
$np(1-p)$
E
$0$

Answer

Rao-Blackwell teoreminin sağladığı varyans iyileştirmesi

\frac{(n-1)p(1-p)}{n}

değerine eşittir.

Rao-Blackwell teoremine göre varyans bileşenleri

Var(T) = Var(T^*) + E[Var(T|S)]

şeklindedir. İlk olarak orijinal tahmin edicinin varyansı

Var(T) = Var(X_1) = p(1-p)

bulunur. Daha sonra

T^* = E[X_1|S] = \frac{S}{n} = \bar{X}

olduğu görülür ve yeni varyans

Var(T^*) = Var(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{n}

elde edilir. İyileştirme miktarı olan varyans farkı cebirsel olarak,

p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} = \frac{(n-1)p(1-p)}{n}

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

Orijinal tahmin edicinin varyansının belirlenmesi.

Var(T) = Var(X_1) = p(1-p)

X_1

, başarı olasılığı

p

olan bir Bernoulli şans değişkenidir.

Rao-Blackwell teoremine göre yeni tahmin edicinin (

T^*

) koşullu beklenen değer yardımıyla bulunması.

T^* = E[X_1 | \sum X_i] = \frac{\sum X_i}{n} = \bar{X}

Örneklem bağımsız ve aynı dağılımlı olduğundan, toplam istatistiği verildiğinde herhangi bir gözlemin beklenen değeri toplamın

n

'e bölümüdür.

Yeni tahmin edici

T^*

'ın varyansının hesaplanması.

Var(T^*) = Var(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{n}

Örneklem ortalamasının varyansı, kitle varyansının örneklem çapına bölümüne eşittir.

Orijinal ve yeni tahmin edicilerin varyansları arasındaki farkın (iyileştirme miktarının) hesaplanması.

Var(T) - Var(T^*) = p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} = \frac{(n-1)p(1-p)}{n}

Rao-Blackwell teoremi ile sağlanan varyans düşüş miktarını elde etmek için cebirsel çıkarma işlemi yapılır.

Key Concept

Rao-Blackwell teoremi ile yeterli istatistik kullanılarak koşullandırma yapılması ve varyans iyileştirme miktarının (

E[Var(T|S)]

) hesaplanması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic